二元一次方程

1重點摘要 Summary

兩條方程兩個未知數，用代入或者消元法找 x 和 y。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 什麼是二元一次方程？二元一次方程組是指兩條各含兩個未知數（通常記作 x 和 y）的一次方程，例如 x + y = 5 與 x − y = 1。單獨一條方程有無限多組解，必須兩條一起考慮，找出一對同時滿足兩條方程的 (x, y)，才算完整解開。「一次」指未知數的最高次方是 1，即不會出現 x² 或 xy 一類的項。
2. 2. 方法一：代入消元法當其中一條方程已寫成「y = ...」或「x = ...」的形式時，代入法最方便。以 y = x + 1 及 x + y = 5 為例：第一步把第一條整式代入第二條的 y，得 x + (x + 1) = 5；第二步合併同類項，得 2x + 1 = 5，移項後 2x = 4，解得 x = 2。這樣兩個未知數暫時變成一個，可以直接求解。
3. 3. 代入法：回代求另一未知數求得 x = 2 後尚未完成，還要把 x 代回最初那條最簡單的方程求 y：代入 y = x + 1，得 y = 2 + 1 = 3。所以這一組的解是 x = 2，y = 3。常見錯誤是求出 x 便停筆，忘記二元方程組必須交出兩個答案；答題時宜按 x、y 順序清楚寫明，並檢查代入另一條方程是否同樣成立。
4. 4. 方法二：加減消元法當兩條方程中同一未知數的係數相同或相反時，加減消元法最快。以 x + y = 5 及 x − y = 1 為例：把兩條方程相加，左邊 (x + y) + (x − y) = 2x，右邊 5 + 1 = 6，y 的項互相抵消，得 2x = 6，即 x = 3。若係數不相同，可先把某一條乘以適當倍數，使其中一個未知數的係數變成相同或相反，再相加或相減消去它。
5. 5. 消元法：回代求另一未知數把 x = 3 代回第一條方程 x + y = 5：3 + y = 5，移項得 y = 2。因此這一組的解是 x = 3，y = 2。回代時宜選係數最簡單、計算量最少的一條方程；若代入後無故出現小數或分數，通常表示之前的消元步驟有錯，應回頭逐步檢查，而不是勉強把錯誤的數值繼續算下去。
6. 6. 驗算與考試提示求出答案後，把 x、y 這一對數值同時代入兩條原方程檢查：x + y = 3 + 2 = 5 ✓，x − y = 3 − 2 = 1 ✓，兩條都成立才算正確。只驗一條並不足夠，因為滿足單一條方程的解有無限多個。DSE 提示：應用題先把文字轉成兩條方程再解；最後必須回應題目所問，例如寫出物品的價錢，而不是只交出 x、y 的數值。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 二元一次方程 = 兩條方程，兩個未知數
• 代入法：將一條代入另一條
• 消元法：兩條加減消走一個未知數
• 找完 x 還要找 y
• 兩條都代入驗算先穩妥