多項式除法

1重點摘要 Summary

就像小學長除法一樣，只係數字變成 x。我會一步步教你，不會跳步。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 除法的本質多項式除法所回答的問題是：(x + 2) 乘以哪個多項式會等於 x² + 5x + 6？這與小學時計算 126 ÷ 3 是問「3 乘以多少等於 126」完全相同。除法中的 x² + 5x + 6 稱為被除式，x + 2 稱為除式，所求的答案稱為商式；若除不盡，剩下的部分稱為餘式。理解這個本質之後，長除法的每一步都不再是機械操作，而是不斷逼近答案的過程。
2. 第一步：以最高次項相除長除法永遠由最高次項開始：以被除式的最高次項除以除式的最高次項。以 x² + 5x + 6 除以 x + 2 為例，被除式最高次項是 x²，除式最高次項是 x，x² ÷ x = x，這個 x 便是商式的第一項，寫在除號上方。切記不可由最低次項開始，否則整個對位會混亂；保持由高至低的次序，是長除法格式的靈魂。
3. 第二步：商式乘除式把剛求得的商式第一項乘以除式的每一項：x × x = x²，x × 2 = 2x，兩者相加得 x² + 2x，寫在被除式正下方，並按次數對齊。這一步的目的是計算已經處理掉的部分；對齊次數尤其重要，因為下一步的減法依賴同類項上下對正。若把 2x 寫到常數位置，減法便會錯誤地合併不同類的項，之後全盤皆錯。
4. 第三步：相減並移下下一項以被除式減去剛才的乘積：x² + 5x 減 x² + 2x，x² 項互相抵消，5x − 2x 得 3x；再把被除式尚未使用的常數項 +6 移下來，與 3x 組成 3x + 6。此步最常見的錯誤是誤把減法當加法，得出 7x；緊記減號要作用於乘積的每一項。移下下一項之後，餘下的式子便成為新一輪除法的對象，流程由此循環。
5. 第四步：重複直至除盡對 3x + 6 重複上述步驟：最高次項 3x ÷ x = 3，把 3 加進商式；以 3 乘除式得 3x + 6，寫下並相減，(3x + 6) − (3x + 6) = 0。餘數為 0 表示除盡，商式是 x + 3。整個流程的循環是：相除、相乘、相減、移下，直到剩餘式子的次數低於除式為止；若最後剩餘不為零，它就是餘式，商式與餘式都要寫齊。
6. 驗算與應用除法的驗算公式是：被除式 = 商式 × 除式 + 餘式。本例 (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6，與被除式一致，證明答案正確。多項式除法在代數中用途廣泛：它是因式分解的有力工具，當已知 (x − 1) 是某多項式的因式時，用除法便可求出另一因式；在往後學習餘式定理與描繪函數圖像時，多項式除法亦是必備技巧，值得徹底練熟。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 多項式除法就像小學長除法，只係數字變 x
• 第一步永遠除最高次項
• 乘完一定要做減法
• 減完帶落下一個項，重複做
• 除到減完是 0 為止