多項式運算

1重點摘要 Summary

多項式是用加減乘除合併 x 的算式。同類項可以合併，乘除要逐項分配。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 多項式的意義與次數多項式是由數字與字母透過加法和減法連接而成的代數式，其中每個以加號或減號分隔的部分稱為一項。例如 3x² + 2x − 5 共有三項：3x² 是二次項，2x 是一次項，−5 是常數項。多項式的次數由最高的次方決定，此式最高次方是 2，因此稱為二次多項式。辨認每一項及其次數是所有多項式運算的起點，因為不論合併、相乘或因式分解，都必須先看清每一項的結構才能著手。
2. 同類項合併同類項是指字母部分完全相同的項，即變數與其次方都一致。合併同類項時，只需把係數相加減，字母部分保持不變。例如 3x² + 2x + 5x² − x 中，3x² 與 5x² 是同類項，合併得 8x²；2x 與 −x 是同類項，合併得 x；因此原式化簡為 8x² + x。常見錯誤是把 3x² 與 2x 當作同類項而寫成 5x³，必須緊記次方不同的項永遠不能合併，正如 2 個橙與 3 個蘋果不能說成 5 個橙。
3. 多項式的加法與減法多項式相加或相減時，先去掉括號，再合併同類項。例如 (3x² + 2x) + (5x² − x + 1)，去掉括號後得 3x² + 2x + 5x² − x + 1，合併 x² 項得 8x²，合併 x 項得 x，常數 1 保持不變，結果是 8x² + x + 1。若括號前是減號，例如 (3x² + 2x) − (5x² − x + 1)，則括號內每一項都要變號，得 3x² + 2x − 5x² + x − 1 = −2x² + 3x − 1。最常見的錯誤是減括號時只改變第一項的符號，其後各項忘了變號，導致答案錯誤。
4. 單項式乘多項式單項式乘多項式時，運用乘法分配律，把單項式逐一乘以括號內的每一項，不可只乘第一項。例如 2x(x + 3) = 2x × x + 2x × 3 = 2x² + 6x。又如 −3x(2x − 4) = −6x² + 12x，注意負數乘負數得正數。同學最常犯的錯誤是只把單項式乘以括號內的首項，寫出 2x × x = 2x² 便草草了事，漏掉其餘的項；答題時應先數一數括號內有多少項，展開後應有同樣數目的項（可合併者除外）。
5. 兩個二項式相乘（FOIL 法）兩個二項式相乘可用 FOIL 法有系統地展開：F 代表乘兩式的首項，O 代表乘兩式各自的外側項，I 代表乘兩式的內側項，L 代表乘兩式的末項，最後把四個積合併同類項。例如 (x + 2)(x + 3)：首項 x × x = x²；外側 x × 3 = 3x；內側 2 × x = 2x；末項 2 × 3 = 6；合併得 x² + 5x + 6。常見錯誤是漏算中間兩項，只寫 x² + 6，或把 3x 與 2x 忘記相加；緊記展開式在合併之前應有四項。
6. 兩個多項式相乘的一般方法當次數較高或項數較多時，FOIL 不夠用，要改用逐項相乘：把第一個多項式的每一項，分別乘以第二個多項式的每一項，然後合併同類項。例如 (x + 1)(x² + 2x + 3)，先以 x 逐一乘第二式的三項得 x³ + 2x² + 3x，再以 1 逐一乘得 x² + 2x + 3，合併同類項得 x³ + 3x² + 5x + 3。檢查項數：2 項乘 3 項，未合併前應有 6 項；若數目不符，即表示有項被遺漏。這種逐項相乘的紀律，是處理三次或更高次多項式乘法的基本功。
7. 驗算的方法展開或化簡多項式後，最可靠的驗算方法是代入數值檢查。選一個簡單的數如 x = 1，分別計算原式與化簡後的值，兩者必須相等。例如驗證 (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6：代入 x = 1，左方 (1 + 2)(1 + 3) = 3 × 4 = 12；右方 1 + 5 + 6 = 12；兩邊相等，說明展開正確。若兩邊不等，便要逐步重查。留意代入 x = 0 或 x = 1 計算最快，但只驗一個值仍屬抽查，正式證明仍需逐項核對。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 同類項先可以合併
• 分配律要逐項乘
• FOIL：First, Outer, Inner, Last
• 負數乘負數 = 正數
• 代入數字驗算最穩妥