因式分解：提取公因式

1重點摘要 Summary

因式分解是將加數式變成乘數式 — 提走各項都有的公因式。例如 6x² + 4x = 2x(3x + 2)。提完之後括號裡面不應該再有公因式。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 因式分解的意義因式分解是把一個多項式由「和的形式」改寫成「積的形式」的過程，與展開恰好相反。例如 6x² + 4x 是兩項相加的和，分解後寫成 2x(3x + 2)，即 2x 與 (3x + 2) 兩個因式相乘。展開與分解互為逆運算：展開把括號消去，分解把括號造出來。掌握分解之後，解方程與化簡分式都會事半功倍，因為積的形式可以直接套用「乘積為零則至少一個因式為零」的性質。
2. 第一步：提取數字公因數先觀察各項係數，找出它們的最大公因數。以 6x² + 4x 為例，係數是 6 和 4：6 的因數有 1、2、3、6，4 的因數有 1、2、4，公有的最大因數是 2，所以數字部分提出 2。選最大公因數是為了一次過提淨，若只提出較小的公因數，括號內仍會留有公因數，分解便不算完成，例如寫成 2(3x² + 2x) 仍未完成，必須再提 x。
3. 第二步：提取字母公因式再觀察各項的字母部分，每個變數取各項中最低的次方。以 6x² + 4x 為例，第一項含 x²（即 x × x），第二項含 x，兩項都有的部分是 x，而最低次方是 1，故字母公因式為 x。合起來公因式是 2x。若某變數並非每一項都有，該變數便不能提出，例如 6x² + 4 中第二項沒有 x，只能提數字公因數 2，得 2(3x² + 2)。
4. 第三步：每項除以公因式把公因式寫在括號外，再以原式每一項除以公因式，把商依次寫進括號內。以 6x² + 4x 為例：6x² ÷ 2x = 3x，4x ÷ 2x = 2，故分解結果為 2x(3x + 2)。檢查方法是把括號內每一項與公因式相乘能否還原：2x × 3x = 6x²，2x × 2 = 4x，與原式相同。同學常錯在常數項忘記除以公因式而把它遺漏，或把指數直接抄進括號，例如誤寫成 2x(3x² + 2)。
5. 驗算：展開還原分解完成後，必須以展開驗算：把公因式乘回括號內每一項，結果應與原式完全相同。例如 2x(3x + 2) 展開得 6x² + 4x，還原成功。這個習慣能即時揭發漏項、錯號與指數錯誤。養成「分解必驗算」的紀律之後，考試中因式分解題的錯誤率會大幅下降，因為絕大部分錯誤都能在展開一步被察覺並當場更正。
6. 進階例子與常見錯誤處理雙變數時方法相同：例如 12a³b − 18a²b²，數字部分 12 與 18 的最大公因數是 6；a 的最低次方是 a²；b 在兩項都出現，最低次方是 b，故公因式為 6a²b。逐項相除：12a³b ÷ 6a²b = 2a，18a²b² ÷ 6a²b = 3b，得 6a²b(2a − 3b)。常見錯誤有三：只提數字不提字母；取錯最低次方，如誤取 a³；以及某項被完全提出後忘記在括號內寫 1，例如 5x² + x 應分解為 x(5x + 1) 而非 x(5x)。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 找最大公因式（數字 GCD × 最低次方字母）
• 每項除回公因式
• 減號要接著走（−4x ÷ 2x = −2）
• 字母取最低次方，不是最高
• 驗算：展開回要和原本一樣