因式分解：十字相乘法

1重點摘要 Summary

學一種快漂亮正的方法，將二次式分解做兩個一次式乘積。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：明白十字相乘法做什麼十字相乘法的目標：把 x² + bx + c 這類二次式，分解成 (x + m)(x + n) 兩個一次式的乘積。例子：x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，我們要找的正是 m = 2、n = 3 這兩個數。名稱由來：驗算時把兩個括號交叉相乘，線條像一個十字。這個方法適用於首項係數是 1 的二次三項式，是中三代數的重點工具。
2. 第二步：找兩個數，乘積等於常數項第一條線索：找兩個數 m 和 n，使它們的乘積等於常數項 c。例子：x² + 5x + 6 的常數項是 6，哪些整數相乘得 6？有 1 × 6 和 2 × 3，還有負數組合 (−1) × (−6) 和 (−2) × (−3)。先把所有可能列出來，不要急著選。常見錯誤是漏了負數組合，尤其常數項是正數、中間項是負數時，兩個數其實都是負數。列出全部組合，下一步才逐一檢驗。
3. 第三步：再看和是不是等於中間項係數第二條線索：這兩個數的和必須等於中間項的係數。例子：x² + 5x + 6 的中間項係數是 5，逐一檢驗：1 + 6 = 7，不對；2 + 3 = 5，正確，所以 m = 2、n = 3。若常數項是負數，例如 x² + 2x − 15，乘積 −15 的組合有 3 × (−5)、(−3) × 5 等，其中 3 + (−5) = −2 不對、(−3) + 5 = 2 正確，得 (x − 3)(x + 5)。兩條線索同時滿足，答案才成立。
4. 第四步：寫答案找到兩個數之後，直接寫出答案：x² + bx + c = (x + m)(x + n)。例子：x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。留意答案的次序可以調換，(x + 3)(x + 2) 同樣正確，因為乘法交換律。常見錯誤是找到兩個數之後忘記它們與括號的對應，例如把 x² + 5x + 6 寫成 (x + 2) + (x + 3)，用加號連接；因式分解的答案永遠是乘積，兩個括號之間不寫任何符號。
5. 第五步：記住正負號符號規律：常數項是正數時，兩個數同號，同正或同負，由中間項的符號決定；常數項是負數時，兩個數異號，一正一負。例子：x² − 5x + 6 的常數項是 6、中間項是 −5，所以兩個數都是負數：(x − 2)(x − 3)，檢驗 (−2) + (−3) = −5 正確。常見錯誤是見到中間項是負便把常數項也當負；記住口訣「常數正，同號；常數負，異號」，先定符號再找數字。
6. 第六步：驗算寫完答案必須乘回去驗算。例子：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，與原式相同，分解正確。若乘回來的結果不同，即兩個數找錯了，回到第二、三步重新配對。驗算只需十秒，卻能確保全部分數；考試時間緊迫時，先完成所有題目，最後集中驗算。常見的驗算疏忽是只檢查常數項，例如 (x + 1)(x + 6) 的常數也是 6，但中間項是 7x，必須兩項都核對。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 找兩個數：乘積等於常數項
• 兩個數和等於中間項係數
• 常數正→同號，常數負→異號
• 寫答案：(x + m)(x + n)
• 記住驗算！