因式分解：恆等式

1重點摘要 Summary

學幾條萬用公式，見到特定樣式就可以即刻分解，不用慢慢試。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：為什麼要學恆等式因式分解是把多項式寫回幾個因式相乘的過程，而恆等式提供「認樣式、即刻拆」的捷徑。有些二次式結構極有規律，例如 x² + 6x + 9，熟記公式後一眼看出是完全平方，直接寫成 (x + 3)²，完全不用逐項試數。與十字相乘等方法相比，恆等式的優勢是快、準、有把握：樣式對得上答案便對，樣式對不上便知此路不通，改用其他方法。中學階段必記三條：兩條完全平方與一條平方差，它們是解二次方程、化簡代數分式的常用工具。
2. 第二步：完全平方公式一：(a+b)²第一條：(a + b)² = a² + 2ab + b²。倒轉使用：見到「頭尾平方、中間兩倍乘積」的三項式，便可收攏成完全平方。判斷 x² + 6x + 9：頭項 x² = (x)²，尾項 9 = (3)²，中項 6x = 2 × x × 3，三個條件齊備，所以 x² + 6x + 9 = (x + 3)²。再看帶係數的例子：4x² + 12x + 9，頭項 4x² = (2x)²，尾項 9 = 3²，中項 12x = 2 × (2x) × 3，所以 = (2x + 3)²。口訣：先驗頭尾是平方，再驗中項是否兩倍乘積，兩關都過才動筆。
3. 第三步：完全平方公式二：(a−b)²第二條：(a − b)² = a² − 2ab + b²。與第一條只差中間項的符號：括號內是減號，中間項便是 −2ab，但尾項永遠是 +b²。判斷 x² − 6x + 9：頭尾同樣是 x² 和 3²，中項是 −6x = −2 × x × 3，所以 = (x − 3)²。常見錯誤有兩個：一是把尾項也寫成負，以為 (x − 3)² 展開的尾項是 −9，事實上 (−3)² = +9；二是中項符號與括號相反，把 x² − 6x + 9 寫成 (x + 3)²。記住規則：中間項的符號跟足括號內的符號，尾項永遠是正。
4. 第四步：平方差公式：a² − b²第三條：a² − b² = (a + b)(a − b)，兩項式、頭尾都是平方、中間是減號，便可拆成「和乘差」。例子：x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3)；x² − 25 = (x + 5)(x − 5)；4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x + 7)(2x − 7)。這條公式在中學出現頻率最高：化簡 (x − 3)(x + 3)、解方程 x² = 16、心算 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10000 − 1 = 9999 都靠它。辨認要點：只有兩項；兩項都是完全平方；連接符號是減號。三個條件缺一不可，x² + 9 便不能用此公式。
5. 第五步：怎樣認出用哪條公式選公式的決策流程：第一步，數項數。兩項式：若頭尾都是平方且相減，用平方差；若相加（如 x² + 9），三條公式都不適用。三項式：檢查頭尾是否平方、中項是否兩倍乘積——中項為正用 (a + b)²，為負用 (a − b)²；若中項不是兩倍乘積（例如 x² + 5x + 9），三條公式皆不合，需改用十字相乘等方法。第二步，檢查有沒有公因式要先提出：2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x + 2)(x − 2)，先提 2 再用平方差，答案才算完整。
6. 第六步：驗算分解完成後必須乘回驗算，這是不可省略的習慣。以 x² − 16 為例：答 (x + 4)(x − 4) 後展開檢查——x × x = x²、x × (−4) = −4x、4 × x = 4x、4 × (−4) = −16，中間 −4x + 4x 互相抵消，得 x² − 16，與原式相同，分解正確。若乘回結果是 x² + 16 或 x² − 8x + 16，即認錯了樣式，須重新判斷。驗算還能捕捉漏寫負號、漏寫括號等筆誤。考試時間緊迫時，至少要在腦內快速展開一次；平時練習則寫在紙上，把驗算練成反射動作。
7. 第七步：常見錯誤總結恆等式分解有四大錯誤。第一，平方差誤用於加法：x² + 9 不能寫成 (x + 3)(x − 3)，因為那展開是 x² − 9；在實數範圍內 x² + 9 已不可再分解。第二，完全平方漏中項：展開 (x + 3)(x + 3) 時必須確認中項 6x 真的出現，少了中項便是與 x² + 9 混淆。第三，係數平方出錯：9x² − 16 的分解是 (3x + 4)(3x − 4)，寫成 (9x + 4)(9x − 4) 便錯——(9x)² = 81x²，不是 9x²。第四，忘記提公因式：3x² − 12 要先寫 3(x² − 4) 再拆。每題完成後乘回驗算，四類錯誤當場現形。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 三條萬用公式，見到樣式直接套
• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a−b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a+b)(a−b)
• 用完一定要驗算！