因式分解：提取公因式

1重点摘要 Summary

因式分解是将加数式变成乘数式 — 提走各项都有的公因式。例如 6x² + 4x = 2x(3x + 2)。提完之后括号里面不应该再有公因式。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 因式分解的意义因式分解是把一个多项式由「和的形式」改写成「积的形式」的过程，与展开恰好相反。例如 6x² + 4x 是两项相加的和，分解后写成 2x(3x + 2)，即 2x 与 (3x + 2) 两个因式相乘。展开与分解互为逆运算：展开把括号消去，分解把括号造出来。掌握分解之后，解方程与化简分式都会事半功倍，因为积的形式可以直接套用「乘积为零则至少一个因式为零」的性质。
2. 第一步：提取数字公因数先观察各项系数，找出它们的最大公因数。以 6x² + 4x 为例，系数是 6 和 4：6 的因数有 1、2、3、6，4 的因数有 1、2、4，公有的最大因数是 2，所以数字部分提出 2。选最大公因数是为了一次过提净，若只提出较小的公因数，括号内仍会留有公因数，分解便不算完成，例如写成 2(3x² + 2x) 仍未完成，必须再提 x。
3. 第二步：提取字母公因式再观察各项的字母部分，每个变数取各项中最低的次方。以 6x² + 4x 为例，第一项含 x²（即 x × x），第二项含 x，两项都有的部分是 x，而最低次方是 1，故字母公因式为 x。合起来公因式是 2x。若某变数并非每一项都有，该变数便不能提出，例如 6x² + 4 中第二项没有 x，只能提数字公因数 2，得 2(3x² + 2)。
4. 第三步：每项除以公因式把公因式写在括号外，再以原式每一项除以公因式，把商依次写进括号内。以 6x² + 4x 为例：6x² ÷ 2x = 3x，4x ÷ 2x = 2，故分解结果为 2x(3x + 2)。检查方法是把括号内每一项与公因式相乘能否还原：2x × 3x = 6x²，2x × 2 = 4x，与原式相同。同学常错在常数项忘记除以公因式而把它遗漏，或把指数直接抄进括号，例如误写成 2x(3x² + 2)。
5. 验算：展开还原分解完成后，必须以展开验算：把公因式乘回括号内每一项，结果应与原式完全相同。例如 2x(3x + 2) 展开得 6x² + 4x，还原成功。这个习惯能即时揭发漏项、错号与指数错误。养成「分解必验算」的纪律之后，考试中因式分解题的错误率会大幅下降，因为绝大部分错误都能在展开一步被察觉并当场更正。
6. 进阶例子与常见错误处理双变数时方法相同：例如 12a³b − 18a²b²，数字部分 12 与 18 的最大公因数是 6；a 的最低次方是 a²；b 在两项都出现，最低次方是 b，故公因式为 6a²b。逐项相除：12a³b ÷ 6a²b = 2a，18a²b² ÷ 6a²b = 3b，得 6a²b(2a − 3b)。常见错误有三：只提数字不提字母；取错最低次方，如误取 a³；以及某项被完全提出后忘记在括号内写 1，例如 5x² + x 应分解为 x(5x + 1) 而非 x(5x)。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 找最大公因式（数字 GCD × 最低次方字母）
• 每项除回公因式
• 减号要接著走（−4x ÷ 2x = −2）
• 字母取最低次方，不是最高
• 验算：展开回要和原本一样