一元二次方程

1重點摘要 Summary

一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有兩個解。S3 主要用因式分解法：將方程寫成 (x−p)(x−q) = 0，這樣 x = p 或者 x = q。兩邊一定要先變 0 先可以分解。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 一元二次方程的定義只含一個未知數，且未知數的最高次方是 2 的方程，稱為一元二次方程，標準形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a 不為 0。例如 x² + 5x + 6 = 0。稱為「二次」，因為 x 的最高次方是 2；稱為「一元」，因為全式只有 x 一個變數。若 a = 0，x² 項消失，方程便退化為一元一次方程，不再屬於此類。認清 a、b、c 的值，是選擇解法的第一步。
2. 第一步：整理成標準式解方程之前，先把所有項移到一邊，令另邊為 0，寫成標準式。以 x² + 5x = −6 為例，把 −6 移項變成 +6，得 x² + 5x + 6 = 0，此時 a = 1、b = 5、c = 6。移項時必須改變符號：跨過等號的項，正變負、負變正。常見錯誤是移項忘記變號，或漏寫 = 0，導致之後無法使用因式分解與零積性質，整題卡住。
3. 第二步：因式分解對 x² + px + q 型的方程，尋找兩個數，使它們的積為 q、和為 p。以 x² + 5x + 6 = 0 為例，需要兩數相乘得 6、相加得 5；逐一試探，2 × 3 = 6 且 2 + 3 = 5，符合條件，於是分解為 (x + 2)(x + 3) = 0。若兩數不易看出，可先列出 q 的所有因數對，再逐一檢查其和。注意當積為正、和為負時，兩數必同為負，例如 x² − 7x + 10 中是 −2 與 −5。
4. 第三步：應用零積性質零積性質指出：若兩個數的乘積等於 0，則至少其中一個是 0。因此 (x + 2)(x + 3) = 0 意味著 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，兩個條件只需成立其一。這是二次方程能夠拆成兩個根的關鍵；若乘積是其他數，例如等於 12，便不能這樣拆開。同學常犯的錯誤是同時令兩個因式為零而寫成 x = −2 且 x = −3，必須用「或」而不是「且」，因為 x 每次只能取其中一個值。
5. 第四步：解出兩根分別解兩個一元一次方程：由 x + 2 = 0 得 x = −2；由 x + 3 = 0 得 x = −3。故方程的根是 x = −2 或 x = −3，兩個答案都要寫齊，漏寫任何一個都算不完整。二次方程一般有兩個根（可能相等；涉及虛數的情況留待高中，初中通常處理兩個實根）。書寫時用「或」連接兩根，並保持每個根的格式一致，例如同用 x = 的形式。
6. 驗算與常見錯誤總結把每個根代回原方程檢驗：x = −2 時，(−2)² + 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0；x = −3 時，(−3)² + 5(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0；兩者均成立，答案正確。總結常見錯誤：移項不變號；找數時只顧乘積而忽略和；把「或」寫成「且」；漏答其中一個根。養成代入驗算的習慣，這四類錯誤都能即時發現，是穩取分數的最後防線。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 先移項做標準式：ax² + bx + c = 0
• 因式分解：找兩個數（加 = b，乘 = c）
• 零積性質：A×B=0 → A=0 或 B=0
• 記住移項變號：x+2=0 → x=−2
• 二次方程通常有兩個根，不要漏