余弦定理

1重点摘要 Summary

学一条万用公式，任何三角形都用得，不一定要直角。我会一步步教你点用。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 为什么需要余弦定理此前所学的 sin、cos、tan 只适用于直角三角形，必须存在一个 90° 角才能使用。但现实中的三角形大多不是直角三角形，例如一块三角形的土地，三个角可能都不是 90°；航海定位与土地测量遇到的三角形亦然。余弦定理适用于任意三角形，不要求任何角是直角，正好补足这个缺口。可以说，余弦定理是毕氏定理的推广版本，掌握了它，任何三角形的角度与边长问题都有办法处理。
2. 公式与记忆方法余弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos C，其中 c 是欲求的边，a 与 b 是另外两边，C 是 a 与 b 的夹角。记忆要点：欲求边的平方 = 另外两边平方之和 − 两边相乘再乘夹角余弦的两倍。最容易出错的是中间的减号与 2ab 的系数；建议把公式默写三次，并紧记「夹角」是两条已知边之间的那个角，若误用了对面的角，公式便会失效，答案全错。
3. 情况一：已知两边夹角求第三边（SAS）当已知两条边与它们的夹角（SAS），用余弦定理直接求第三边。例如已知 a = 3、b = 4、夹角 C = 60°，求 c：代入公式得 c² = 3² + 4² − 2 × 3 × 4 × cos 60°。此时整条式只有一个未知数 c，直接计算即可。若已知的是两边与一个非夹角，便不能直接套用公式，需要先用正弦定理等高中方法；初中阶段的题目一般都会给出夹角，按公式代入即可。
4. 情况二：已知三边求角（SSS）当三条边全部已知（SSS）而需求角度，把公式移项成 cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab)。例如已知三边 3、4、5，求最大角 C（对著最长边 5 的角）：cos C = (3² + 4² − 5²) ÷ (2 × 3 × 4) = (9 + 16 − 25) ÷ 24 = 0，故 C = 90°，可见 3-4-5 是直角三角形。计算时分子的次序必须是「两条较短边的平方和减去欲求角对边的平方」；若求的是别的角，相应调换各边的位置。
5. 完整计算示范例：a = 3、b = 4、夹角 C = 60°，求 c。第一步，写出公式 c² = a² + b² − 2ab cos C；第二步，代入数值得 c² = 9 + 16 − 2 × 3 × 4 × cos 60°；第三步，查得 cos 60° = 0.5，故 c² = 25 − 24 × 0.5 = 25 − 12 = 13；第四步，开方得 c = √13 ≈ 3.6。留意先平方后开方的次序，并且在中间过程保留较多位数，到最后一步才四舍五入至两位小数，可以减少累积误差。
6. 与毕氏定理的关系毕氏定理其实是余弦定理的特例：当角 C = 90° 时，cos 90° = 0，公式退化为 c² = a² + b² − 0 = a² + b²，正是毕氏定理。这说明余弦定理更为通用：在钝角三角形中，夹角大于 90°，cos C 为负数，c² 反而大于 a² + b²，与「钝角对最长边」的事实吻合。检查答案时可以运用这个规律：算出的最长边应对著最大的角，若两者不符，即表示计算过程有错，必须重查。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 任何三角形都用得，不用是直角
• c² = a² + b² − 2ab cos C
• SAS 求边、SSS 求角
• 毕氏定理是它的特例
• 计完记住开方