中五 数学延伸单元

自变量趋近某值时函数值无限趋近的数，记作 lim x→a f(x)。

自变量或函数值不断接近某数的过程，无须真正到达该数。

把 a 代入函数求极限的方法；结果为确定数时，极限就是该数。

代入后得零比零等形式，极限未定，须先化简再求。

把多项式写成因式的乘积，借此约去公因式以消除零比零。

分子或分母同乘共轭根式以消除根号的技巧，利用平方差展开。

函数的和、差、积、商、纯量乘法与复合函数极限的运算定理，不须证明即可使用。

x 无限增大时函数值的趋势；对有理函数，比较分子与分母的最高次数判断。

lim θ→0 (sin θ/θ) = 1 及 lim x→0 ((eˣ−1)/x) = 1，是三角与指数函数极限的基础。

函数值的改变量除以自变量的改变量，即 [f(b)−f(a)]/(b−a)，对应割线的斜率。

函数的瞬时变化率，记作 f'(x) 或 dy/dx，数值等于曲线在该点切线的斜率。

由函数求导数的过程；课程中单元二的名称为「求导法」。

用极限 f'(x) = lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 求导数的定义方法。

d(uv)/dx = v(du/dx) + u(dv/dx)；乘积的导数不等于导数的乘积。

d(u/v)/dx = [v(du/dx) − u(dv/dx)]/v²，分子次序不可颠倒。

dy/dx = (dy/du)(du/dx)；复合函数求导时外层导数乘内层导数。

对含 x 与 y 的方程两边同时求导，遇 y 项乘 dy/dx，再解出 dy/dx。

导数的导数，记作 f''(x) 或 d²y/dx²，用于判别极值性质与凹性。

函数在邻域内的局部极大或极小值；课程要求同时处理全局与局部极值。

曲线向上凹（f'' > 0）或向下凹（f'' < 0）的形态，由二阶导数的正负决定。

f(x) 的全部原函数，记作 ∫f(x)dx，结果含积分常数 C。

求导后等于 f(x) 的函数 F(x)，即 F'(x) = f(x)。

任意常数 C，代表一族沿 y 轴平移的原函数曲线。

∫f(x)dx 中被积分的函数 f(x)。

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）；指数加一，再除以新指数。

∫kf(x)dx = k∫f(x)dx；∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。

设被积函数的内层为 u，把 dx 换成 du，化简后积分再回代；课程不包括分部积分法。

课程对不定积分法的定性：它是求导法的逆过程，两者互为还原。

题目给定的函数值（如曲线过某点），用来确定积分常数 C。

以 e 为底的对数，记作 ln x；∫(1/x)dx = ln x + C。

可取某区间内任意值的随机变量，如身高、寿命；概率以曲线下面积表示。

钟形、对称于平均值的连续概率分布，记作 X ~ N(μ, σ²)。

正态分布的概率曲线：钟形、对称、下方总面积为一。

正态分布的位置参数；平均值、众数与中位数三者相等，均位于对称轴上。

控制曲线平坦度的离散参数；σ 越大，曲线越阔越矮，数据越分散。

把 X 换算成 Z = (X−μ)/σ 的过程，表示偏离平均值多少个标准差。

平均值为零、方差为一的正态分布 Z ~ N(0, 1)，配专用分布表使用。

列出 P(Z ≤ z) 数值的表；配合对称性可求各类区间概率。

标准正态曲线对称于零：P(Z < 0) = 0.5，且 P(Z < −a) = P(Z > a)。

数据落在 μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ 的概率约为 68%、95%、99.7%。

描述总体的固定常数，如平均值 μ、方差 σ²；通常未知，靠样本估计。

由样本算出的量，如样本平均值 x̄、样本方差 s²；随样本而变，用来估计参数。

统计量在所有可能样本下的概率分布，例如 x̄ 的分布。

x̄ 的标准差，等于 σ/√n；量度用 x̄ 估计 μ 的精确度。

n 足够大时，不论总体分布如何，x̄ 的分布近似正态。

用单一数值估计参数：以 x̄ 估 μ，以 s² 估 σ²。

期望值等于被估参数的估计量；E(x̄) = μ，s² 除以 n−1 后期望值亦为 σ²。

s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)；分母用 n−1 以保证无偏。

以统计量为中心、附置信水平的参数区间估计，如 x̄ ± 1.96σ/√n。

造区间方法的长期成功率；95% 区间对应临界值 1.96，99% 对应 2.575。

y'、f'(x) 与 dy/dx 三种等价记法；在某点取值写作 dy/dx 在 x = x₀ 的值。

用极限 lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h 认识导数概念；M1 不须以此作冗长计算。

f'(x₀) 即曲线在 x = x₀ 处切线的斜率，是导数的几何意义。

dy/dx = (dy/du)(du/dx)；复合函数求导，外层导数乘内层导数。

驻点处 f'' > 0 为局部极小、f'' < 0 为局部极大。

f'' > 0 曲线向上凹，f'' < 0 曲线向下凹。

整个定义域上的最大最小值，与邻域内的相对极值；应用题须兼顾两者。

导数作瞬时变化率；应用题中的速率、成本变化、膨胀速率等。

求导的逆过程，∫f(x)dx = F(x) + C；M1 只要求基本公式与代换法。

设 u 化简被积函数后积分再回代；M1 不包括分部积分法。