函数与图像

1重点摘要 Summary

函数就是一部机器：输入 x，输出 y。画在坐标纸上面就是图像。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 函数是输入输出的机器函数可以想像成一部机器：从入口输入 x 的值，机器按固定规则运算，从出口输出 y 的值。以 y = 2x + 1 为例：输入 x = 1，机器计算 2 × 1 + 1，输出 y = 3；输入 x = 2，输出 y = 5。函数的特点是每个输入只对应唯一一个输出：x = 1 时 y 只能是 3，不会同时是另一个数。自来水费与的士车资都是函数的现实版本：行车里数一旦确定，车资便唯一确定。
2. 坐标表示点的位置平面上每个点用一对数 (x, y) 表示：第一个数是 x 坐标，向右为正；第二个数是 y 坐标，向上为正。例如 (2, 3) 表示由原点向右 2 格、向上 3 格的位置；两轴相交的 (0, 0) 称为原点。读写坐标时次序不可颠倒：(2, 3) 与 (3, 2) 是两个不同的点，这是初学者最常犯的错误。记忆方法是「先行后上」，如同楼宇地址先讲楼层再讲室号，次序固定不能调换。
3. 画直线图像的步骤直线的图像只需两个点便可确定，但画图时建议先列一个小型数值表，计算三个点以防出错。以 y = 2x + 1 为例：x = 0 时 y = 1，得点 (0, 1)；x = 1 时 y = 3，得点 (1, 3)；再算 x = 2 得 (2, 5)。在坐标纸上描出各点，用直尺连线并向两端延伸。若第三点不在线上，说明计算有误，必须重查。画完之后在线旁标明方程，图像才算完整规范。
4. 斜率 m：直线的倾斜程度斜率 m 量度直线的倾斜程度，定义为上升量 ÷ 前进量，即沿线行走时每前进 1 格上升多少格。由 (0, 1) 到 (1, 3)：上升 = 3 − 1 = 2，前进 = 1 − 0 = 1，故 m = 2 ÷ 1 = 2。斜率越大，直线越陡；m = 2 表示每向右 1 格便上升 2 格。计算时必须以同一方向读两点的坐标：若 y 用「后减前」，x 也要「后减前」，顺序颠倒会令正负号出错，斜率方向便判断错误。
5. 截距 c 与方程 y = mx + cy 截距是直线与 y 轴相交的位置。在标准式 y = mx + c 之中，c 正是 y 截距：y = 2x + 1 的截距是 1，直线穿过 (0, 1)。验证方法是把 x = 0 代入，得 y = 2 × 0 + 1 = 1。斜率与截距两个数字完全确定一条直线：m 决定倾斜程度，c 决定上下位置。因此看见方程便能想像图像，看见图像也能读出方程，这种数与形的互相转换是坐标几何的核心训练。
6. 斜率的正负与图像方向斜率的正负决定直线的方向：m 为正，直线由左下向右上攀升，例如 y = 2x + 1；m 为负，直线由左上向右下滑落，例如 y = −x + 3；m = 0 时直线水平，例如 y = 4。日常语言中的「上升趋势」与「下降趋势」，在数学上就是斜率的正与负。检查图像时，先看方向是否与斜率符号相符，再看截距位置是否正确，两者无误，这条直线基本上便画对了。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 函数：输入 x，输出 y
• 坐标：(x, y) 先横后直
• 画直线最少要两个点
• 斜率 m = 上升 ÷ 前行
• y = mx + c：m 是斜率，c 是截距