统计：平均数、中位数、众数

1重点摘要 Summary

平均数（mean）= 总和 ÷ 数量；中位数（median）= 排好序之后中间那个；众数（mode）= 出现最多的数。一组数据可以三个都不同 — 各自描述「中心」的不同角度。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 平均数（Mean）平均数是把所有数据相加后除以数据的个数。例如数据 1, 2, 3, 4, 5：总和 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，个数是 5，平均数 = 15 ÷ 5 = 3。平均数利用了全部数据，是最常用的集中趋势量度，日常所说的平均分、平均气温都属此类。它的弱点是容易受极端值影响：若五人月收入为 1 万、1.1 万、1.2 万、1.3 万与 100 万，平均数被 100 万大幅拉高，已不能代表大多数人的水平。
2. 中位数（Median）中位数是把数据由小至大排列之后，正中间的那个数。例如 1, 2, 3, 4, 5 共五个数，第 3 个是中位数 3。若数据个数是双数，例如 1, 2, 3, 4，中间有两个数 2 与 3，便取它们的平均：(2 + 3) ÷ 2 = 2.5。求中位数之前必须先排序，这是最常被遗忘的步骤：直接在未排序的数据中取「中间位置」会得出错误答案。中位数不受极端值影响，适合描述收入、楼价等悬殊数据。
3. 众数（Mode）众数是出现次数最多的数据值。例如 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 中，1 出现一次、2 出现两次、3 出现三次，众数是 3。众数也可以是出现最多的类别，因此鞋店会说「38 码最畅销」，而不必谈论平均脚长。一组数据可能没有众数（全部数值各出现一次），也可能有超过一个众数（两个值并列出现最多）。求众数只需数次数，不必加减，是三个量度中最直接的一个。
4. 三者比较：考试分数例子五位同学的分数是 60, 70, 70, 80, 90。平均数 = (60 + 70 + 70 + 80 + 90) ÷ 5 = 370 ÷ 5 = 74；中位数是排序后第 3 个，即 70；众数是出现最多的 70。三个结果 74、70、70 相当接近，因为这组数据分布均匀、没有极端值。这个例子显示：同一批数据可以用三把不同的「尺」量度集中趋势，答案不同并非计算错误，而是三者的定义本来就不同，答题时必须分清楚问的是哪一个。
5. 何时选用哪个量度平均数最常用，但一个极端值便能使它失真：数据 1, 2, 3, 4, 100 的平均数是 22，可是大部分数在 1 至 4 之间，22 毫无代表性；此组的中位数是 3，更贴近多数。众数适合回答「最受欢迎」的问题，例如最受欢迎的尺码、颜色或班别。报告数据时，若分布明显偏斜（如收入、楼价），宜同时附上中位数；若数据对称而无异常值，平均数已经足够。新闻报导的平均楼价与中位数楼价并列，正是这个道理。
6. 常见错误与答题格式常见错误有三：求中位数之前忘记排序；数据个数为双数时直接取第 n ÷ 2 个，忘记把中间两数平均；把众数写成出现的次数而非该数值，例如在 1, 2, 2, 3 中误答「2 次」而非 2。答题的标准格式是先写公式或定义，再代入数据，最后清楚写出「平均数是 74、中位数是 70、众数是 70」，三个量度分开陈述，逐项对应，避免混为一谈而失分。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• Mean = 加起来除开个数
• Median = 排好序中间那个（双数就平均两个）
• Mode = 出现最多次那个
• 找 median 之前一定要先排序
• Outlier 会拉歪 mean，这个时候 median 更准