概率乘法法则

1重点摘要 Summary

学习计算「和」的概率：两个事件共同发生的机会。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：独立事件若两个事件互不影响，其中一件是否发生并不改变另一件发生的概率，则称它们为独立事件。独立事件的乘法法则是 P(A 和 B) = P(A) × P(B)。例如掷一枚硬币与掷一粒骰子，硬币的结果不影响骰子的结果，两者独立。为什么可以直接相乘？因为第一件事的结果丝毫不改变第二件事的样本空间。常见错法是把未经检验的两件事当成独立，套用公式前必须先判断是否互相影响。
2. 第二步：独立事件的例子掷骰子两次，求两次都掷得 6 的概率：第一次得 6 的概率是 16，第二次得 6 的概率同样是 16，两次结果互不影响，故 P(两次都是 6) = 16 × 16 = 136。为什么第二次仍是 16？因为骰子没有记忆，第一次的结果完全不改变第二次的可能性。常见错法是把 16 + 16 = 13 当成答案，那是「至少一次得 6」一类问题的思路，与「两次都」的乘法情境完全不同。
3. 第三步：相关事件与条件概率若第一件事的结果会改变第二件事发生的概率，两者便是相关事件（不独立），须用条件概率形式的乘法法则：P(A 和 B) = P(A) × P(B|A)，其中 P(B|A) 表示在 A 已发生的条件下 B 发生的概率。最典型的情境是抽物不放回：第一件抽出后总数减少，第二件的概率随之改变。为什么不能直接相乘？因为第二次的样本空间已被第一次改变。常见错法是无视「不放回」三字，仍用独立事件的公式。
4. 第四步：相关事件的例子从一副 52 张的扑克牌中抽出两张，不放回，求两张都是红桃的概率：第一张是红桃的概率为 1352；抽出一张红桃后，牌堆余 51 张，其中红桃余 12 张，故 P(第二张是红桃 | 第一张是红桃) = 1251。为什么分子分母都变？因为总牌数由 52 减为 51，红桃由 13 减为 12，两者同步减一。常见错法是只减分子不减分母，误用 1252；分母必须反映剩余的总数。
5. 第五步：相乘与约简接上例相乘：P(两张都是红桃) = 1352 × 1251。先约简可减少数字：1352 = 14，于是 14 × 1251 = 12204，再约简得 117。为什么先约简？因为大数相乘之后再约分容易出错，先约可使计算量大幅减少，例如 12 与 51 有公因数 3，先约得 4 与 17，乘积直接是 451 的形式。常见错法是相乘后忘记约简，写出 12204 便收笔；答案应化至最简分数，或按题目要求化为小数。
6. 第六步：独立还是相关的判断判断两事件是否独立，关键在于第一次结果是否改变第二次的样本空间：抽出后放回，或掷骰、掷币等重复试验，各次互相独立；抽出后不放回，总数改变，便是相关事件。例如袋中有 3 红 2 蓝共 5 球，放回抽取时第二次抽红的概率恒为 35，不放回时则视第一次结果而改变。为什么要练习判断？因为选错法则整题作废。常见错法是见到「抽两次」便用独立公式，应先读清楚有无「放回」字眼。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 独立事件（有回置）：P(A 和 B) = P(A) × P(B)
• 相关事件（无回置）：P(A 和 B) = P(A) × P(B|A)
• 「和」用乘法，「或者」用加法
• 无回置记得分母同分子都会变
• 掷骰、掷硬币每次都是独立