三角比：sin、cos、tan

1重点摘要 Summary

在直角三角形里面，sin θ = 对边/斜边，cos θ = 邻边/斜边，tan θ = 对边/邻边。用 SOH-CAH-TOA 记。懂得分「对边」和「邻边」是关键 — 由参考角出发，对著的是对边，旁边（不是斜边）的是邻边。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 三角比的概念与 SOHCAHTOA三角比描述直角三角形中边长之间的比例关系，共有三个：正弦 sin、余弦 cos、正切 tan。记忆口诀 SOHCAHTOA：SOH 表示 sin θ = 对边 ÷ 斜边；CAH 表示 cos θ = 邻边 ÷ 斜边；TOA 表示 tan θ = 对边 ÷ 邻边。这些比例只与角的大小有关，与三角形的大小无关：把三角形放大两倍，三条边同时加倍，比值不变。这正是三角比能够测量高塔高度、河流宽度等不能直接量度距离的原因。
2. 第一步：认出斜边斜边是直角三角形中最长的一边，永远对著直角，与选择哪个锐角无关。例如一个直角三角形中标记角 θ，不论 θ 在左下还是右下，斜边都是同一条。寻找斜边的口诀是：先找直角，直角对面那条便是斜边。常见错误是图形旋转之后把邻边误认为斜边，或在复杂图形中漏看直角；养成先用笔圈出直角、再标明斜边的习惯，可以避免此类失误。
3. 第二步：辨认对边与邻边对边与邻边则取决于所选的角：对边是正对著角 θ 的那条直角边，邻边是与角 θ 相邻的另一条直角边。例如角 θ 位于左下角时，右侧那条竖直边正对著 θ，是对边；底部那条水平边贴著 θ，是邻边。若改看另一个锐角，对边与邻边便会互换。因此答题时必须先写明「就角 θ 而言」，再逐一标明三边，图形上可以直接用 O、A、H 三个字母标记，避免混乱。
4. 用 SOH 求 sin已知对边与斜边时用正弦：sin θ = 对边 ÷ 斜边。例如对边 = 3、斜边 = 5，则 sin θ = 3 ÷ 5 = 0.6。反过来，已知角度与斜边求对边时同样用此式：对边 = 斜边 × sin θ。常见错误是把对边与邻边调转，实际算出的是 cos 的值；避免方法是写式之前先在图上标明 O、A、H，再按口诀选比。使用计算机时必须先确认处于度数（DEG）模式，否则所有答案都会错误。
5. 用 CAH 求 cos已知邻边与斜边时用余弦：cos θ = 邻边 ÷ 斜边。例如邻边 = 4、斜边 = 5，则 cos θ = 4 ÷ 5 = 0.8。反过来，已知角度与斜边时，邻边 = 斜边 × cos θ；已知角度与邻边时，斜边 = 邻边 ÷ cos θ。记忆时留意：锐角范围内 cos 的值必定在 0 与 1 之间，若算出大于 1 的值，必定是边选错或除数弄反，应立即覆查，不要勉强写下不可能的答案。
6. 用 TOA 求 tan 与选比原则已知对边与邻边时用正切：tan θ = 对边 ÷ 邻边。例如对边 = 3、邻边 = 4，则 tan θ = 3 ÷ 4 = 0.75。三个比之中，tan 可以大于 1。实际解题时先问自己：题目给了哪两条边，再选用恰好用上这两条边、只留下一个未知数的比；若两条直角边齐备而求斜边，也可以先用毕氏定理。选比的原则是「用齐已知、只留一个未知」，选对了计算自然顺利。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• SOH：sin = 对 / 斜
• CAH：cos = 邻 / 斜
• TOA：tan = 对 / 邻
• 斜边永远是最长那条
• 对边和邻边要看角 θ 在哪里