三角恒等式

1重点摘要 Summary

学几条永远对的三角公式，帮你简化复杂的三角式子。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 恒等式的意义三角恒等式是对所有角 θ 都成立的等式，不论 θ 是 30°、45° 还是 120°，等号两边永远相等。这与一般方程不同：方程只对某些特定的 x 成立，恒等式则无条件成立。正因如此，恒等式可以在任何式子中直接代入使用，用来化简复杂的三角式，或证明两个式子恒等。初中阶段必须掌握的恒等式只有两条，其余的公式日后都可以由这两条推导出来。
2. 恒等式一：sin²θ + cos²θ = 1这是最重要的一条恒等式：任何角度之下，sin²θ 与 cos²θ 之和恒等于 1。其根源是毕氏定理：在直角三角形中，sin θ = 对边 ÷ 斜边，cos θ = 邻边 ÷ 斜边，两者平方相加得 (对边² + 邻边²) ÷ 斜边²，由毕氏定理分子等于斜边²，故结果为 1。例如 sin 30° = 0.5、cos 30° ≈ 0.866，0.5² + 0.866² ≈ 0.25 + 0.75 = 1。由此还可推出两个常用变形：sin²θ = 1 − cos²θ 与 cos²θ = 1 − sin²θ。
3. 恒等式二：tan θ = sin θ ÷ cos θ第二条恒等式是 tan θ = sin θ ÷ cos θ，它是正切定义的自然延伸：tan θ = 对边 ÷ 邻边，而 sin θ ÷ cos θ = (对边 ÷ 斜边) ÷ (邻边 ÷ 斜边)，斜边在相除过程中互相抵消，剩下对边 ÷ 邻边，两者一致。因此见到 tan θ 可以随时改写为 sin θ ÷ cos θ，反之亦然。例如 tan 30° = 0.5 ÷ 0.866 ≈ 0.577，与直接查表所得的 tan 30° 相符，验证了这条恒等式。
4. 用恒等式化简式子化简的策略是「先找熟悉的部分，逐块代入」。例如化简 sin²θ + cos²θ + tan θ × cos θ：第一块 sin²θ + cos²θ 直接以 1 代入；第二块 tan θ × cos θ 先以 sin θ ÷ cos θ 代替 tan θ，得 (sin θ ÷ cos θ) × cos θ，cos θ 约去后剩下 sin θ；全式便是 1 + sin θ。化简的目标是把式子变得越短越好，完成后再检查是否还有可以用恒等式代入的部分，做到不能再化为止。
5. 恒等式证明题的做法证明题要求展示等号两边恒等。通行做法是由较复杂的一边出发，逐步以恒等式代入和代数化简，直到与另边完全相同；不可以两边同时动工，也不可以把原式当作已知代入。例如证明 tan θ × cos θ = sin θ：只处理左边，tan θ × cos θ = (sin θ ÷ cos θ) × cos θ = sin θ，左一边化成右一边，得证。书写时每一步只做一个动作，并在关键步骤旁注明所用的是哪一条恒等式。
6. 记忆策略与应试提示需要牢记的只有两条：sin²θ + cos²θ = 1 与 tan θ = sin θ ÷ cos θ。遇到题目时先扫视有无平方和结构，或 tan 与 sin、cos 混杂的结构，这两种讯号直接指向相应的恒等式。常见错误包括把 sin²θ 误写成 sin θ²（后者表示先平方 θ 再取正弦），以及在除法中忽略 cos θ 不能为 0 的限制。考试中证明题的分数在于步骤清晰，跳步会被扣分；答题前把两条公式写在草稿顶端，化简途中随时取用，可减少临场遗忘。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 两条最基本：sin²θ + cos²θ = 1
• tanθ = sinθ ÷ cosθ
• 见到 sin² + cos² 直接换做 1
• 见到 tanθ 可以换做 sin ÷ cos
• 证明题由一边开始化简