仰角与俯角

1重点摘要 Summary

学两个实际应用的角度名词，学完就可以解决测量距离同高度的问题。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：为什么要学这两个角日常生活经常遇到无法直接量度的长度：想知道一棵树的高度，总不能爬到树顶去拉尺；想知道河对岸的距离，也不能直接横越过去量。三角学正好解决这类问题：只要量出一个角度和一段已知的水平距离，就能间接算出高度或距离。仰角与俯角就是这种间接测量的入门工具，在工程、导航和测量工作中十分常用，学会了它，许多看来无法量度的长度都有了办法。
2. 第二步：仰角是什么仰角（angle of elevation）指视线向上时与水平线的夹角。观察者的眼睛先沿水平线望出去，再抬高视线去看高处的物体，两线之间的角就是仰角。例如站在地面上仰望大厦顶楼，视线与水平线之间的夹角便是仰角。画图时切记：仰角必定由水平线量起，而不是由地面或铅垂线量起，水平线是量角的起点，这也是最容易被忽略而画错的地方。
3. 第三步：俯角是什么俯角（angle of depression）则是视线向下时与水平线的夹角。观察者处于高处，例如站在大厦天台，先沿水平线望出去，再低下视线去看地面的车辆，视线与水平线之间的夹角就是俯角。俯角同样由水平线量起，只是方向向下。判断方法很直接：物体高于眼睛就是仰角，物体低于眼睛就是俯角，关键是先画出水平线，再把视线与它比较，位置高低一目了然。
4. 第四步：两个角的关系仰角与俯角有一个重要关系：两者永远相等。原因是两条水平线互相平行，而观察者与目标之间的视线是同一条直线，因此甲处的仰角与乙处的俯角构成一对内错角，内错角必定相等。也就是说，你在地面仰望天台上的人时的仰角，等于对方低头望你时的俯角。应用题中经常考这一点：只要知道其中一个角，另一个即可直接写出，不必再计算。
5. 第五步：怎样解题解题有固定流程：第一，按题意画出直角三角形，标明水平线、视线与角度；第二，分清楚三角形中哪条是对边、邻边和斜边；第三，列出已知的角度与边长，明确要求的目标；第四，选择合适的三角比——已知水平距离求高度时通常用 tan，因为 tanθ = 对边 ÷ 邻边，刚好涉及高度与距离；第五，代入数字计算，最后验算答案是否合理，例如高度不应大过斜边。
6. 第六步：例子讲解例：站在离树 10 米的水平距离处，望树顶的仰角是 45°，求树高。先画直角三角形：邻边 = 10 米，角度 = 45°，对边 = 树高。已知邻边求对边，用 tan：tan45° = 对边 ÷ 邻边 = 树高 ÷ 10，而 tan45° = 1，所以树高 = 10 × 1 = 10 米。验算：45° 时对边与邻边相等，10 米对 10 米，答案合理，这类数字设计在测验中也很常见。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 仰角：向上望
• 俯角：向下望
• 两个角永远相等
• 先画直角三角形先好计
• 通常用 tan 来计