正弦定理

1重点摘要 Summary

学另一条万用公式，任何三角形都用得，特别是知角和对边的时候。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：正弦定理的用途正弦定理与余弦定理一样，适用于任何三角形，不论直角、锐角或钝角三角形均可使用。它的特点是专门处理「已知角与对边」的题目：只要题目给出一组角和对边，再加多一个角或一条边，就可用正弦定理求出其余的边或角。做题前先画草图，把已知角与对应的边标清楚，是避免出错的第一步。
2. 第二步：公式与对应关系正弦定理的公式是 a/sin A = b/sin B = c/sin C，其中 a 是角 A 的对边，b 是角 B 的对边，c 是角 C 的对边。也就是说，每一条边除以它对面角度的正弦值，三个比值完全相等。使用时必须边配对角：a 对 A、b 对 B、c 对 C，一旦配错，整条算式便会全部错误，这是最常见的失分位置。
3. 第三步：怎样用来求边已知一个角和它的对边，再加另一个角，就能求出第二条边。例如已知 a=10、角 A=30°、角 B=45°，求 b：先列出比例 10/sin30° = b/sin45°，两个已知量放在左边，未知量 b 在右边。这种「两角一边」的题目，三角形三个角其实已可确定（第三角 = 180° − 30° − 45° = 105°），正弦定理是最直接的解法。
4. 第四步：计算示范续上例：10/sin30° = b/sin45°。先查值：sin30° = 0.5，sin45° = √22 ≈ 0.707。代入得 100.5 = b/(√22)，即 20 = 2b/√2，所以 b = 20 × √22 = 10√2 ≈ 14.1。验算方向：b 比 a 长，因为角 B（45°）大于角 A（30°），边长随对角增大而增大，结果与三角形性质一致，答案合理。
5. 第五步：怎样用来求角已知两条边和其中一条边的对角，可反过来求另一个角。例如已知 a=10、b≈14.1、角 A=30°，求角 B：把公式写成 sin B = b × sin A / a = 14.1 × 0.5 ÷ 10 = 0.705，再用计算机的正弦反函数求得 B ≈ 44.8°。留意这类题目有时出现两个可能的角（钝角解），作答时要按题目情境和三角形内角和判断取舍。
6. 第六步：正弦定理与余弦定理的选择选择定理的口诀：已知「两角和任一边」或「两边和其中一边的对角」，用正弦定理；已知「两边和夹角」求第三边，或已知「三边」求角，用余弦定理。简单说，正弦定理要有「一组完整的角与对边」才能起步，余弦定理则不需要。选错定理不但浪费时间，更会得出无法继续的算式，所以审题时务必先分辨已知条件属于哪一类。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 任何三角形都用得
• a/sin A = b/sin B = c/sin C
• 已知角和对边就用它
• 对边配对角，不要配错
• 同余弦定理互补