一元二次方程

1重点摘要 Summary

一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）有两个解。S3 主要用因式分解法：将方程写成 (x−p)(x−q) = 0，这样 x = p 或者 x = q。两边一定要先变 0 先可以分解。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 一元二次方程的定义只含一个未知数，且未知数的最高次方是 2 的方程，称为一元二次方程，标准形式是 ax² + bx + c = 0，其中 a 不为 0。例如 x² + 5x + 6 = 0。称为「二次」，因为 x 的最高次方是 2；称为「一元」，因为全式只有 x 一个变数。若 a = 0，x² 项消失，方程便退化为一元一次方程，不再属于此类。认清 a、b、c 的值，是选择解法的第一步。
2. 第一步：整理成标准式解方程之前，先把所有项移到一边，令另边为 0，写成标准式。以 x² + 5x = −6 为例，把 −6 移项变成 +6，得 x² + 5x + 6 = 0，此时 a = 1、b = 5、c = 6。移项时必须改变符号：跨过等号的项，正变负、负变正。常见错误是移项忘记变号，或漏写 = 0，导致之后无法使用因式分解与零积性质，整题卡住。
3. 第二步：因式分解对 x² + px + q 型的方程，寻找两个数，使它们的积为 q、和为 p。以 x² + 5x + 6 = 0 为例，需要两数相乘得 6、相加得 5；逐一试探，2 × 3 = 6 且 2 + 3 = 5，符合条件，于是分解为 (x + 2)(x + 3) = 0。若两数不易看出，可先列出 q 的所有因数对，再逐一检查其和。注意当积为正、和为负时，两数必同为负，例如 x² − 7x + 10 中是 −2 与 −5。
4. 第三步：应用零积性质零积性质指出：若两个数的乘积等于 0，则至少其中一个是 0。因此 (x + 2)(x + 3) = 0 意味著 x + 2 = 0 或 x + 3 = 0，两个条件只需成立其一。这是二次方程能够拆成两个根的关键；若乘积是其他数，例如等于 12，便不能这样拆开。同学常犯的错误是同时令两个因式为零而写成 x = −2 且 x = −3，必须用「或」而不是「且」，因为 x 每次只能取其中一个值。
5. 第四步：解出两根分别解两个一元一次方程：由 x + 2 = 0 得 x = −2；由 x + 3 = 0 得 x = −3。故方程的根是 x = −2 或 x = −3，两个答案都要写齐，漏写任何一个都算不完整。二次方程一般有两个根（可能相等；涉及虚数的情况留待高中，初中通常处理两个实根）。书写时用「或」连接两根，并保持每个根的格式一致，例如同用 x = 的形式。
6. 验算与常见错误总结把每个根代回原方程检验：x = −2 时，(−2)² + 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0；x = −3 时，(−3)² + 5(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0；两者均成立，答案正确。总结常见错误：移项不变号；找数时只顾乘积而忽略和；把「或」写成「且」；漏答其中一个根。养成代入验算的习惯，这四类错误都能即时发现，是稳取分数的最后防线。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 先移项做标准式：ax² + bx + c = 0
• 因式分解：找两个数（加 = b，乘 = c）
• 零积性质：A×B=0 → A=0 或 B=0
• 记住移项变号：x+2=0 → x=−2
• 二次方程通常有两个根，不要漏