多项式运算

1重点摘要 Summary

多项式是用加减乘除合并 x 的算式。同类项可以合并，乘除要逐项分配。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 多项式的意义与次数多项式是由数字与字母透过加法和减法连接而成的代数式，其中每个以加号或减号分隔的部分称为一项。例如 3x² + 2x − 5 共有三项：3x² 是二次项，2x 是一次项，−5 是常数项。多项式的次数由最高的次方决定，此式最高次方是 2，因此称为二次多项式。辨认每一项及其次数是所有多项式运算的起点，因为不论合并、相乘或因式分解，都必须先看清每一项的结构才能着手。
2. 同类项合并同类项是指字母部分完全相同的项，即变数与其次方都一致。合并同类项时，只需把系数相加减，字母部分保持不变。例如 3x² + 2x + 5x² − x 中，3x² 与 5x² 是同类项，合并得 8x²；2x 与 −x 是同类项，合并得 x；因此原式化简为 8x² + x。常见错误是把 3x² 与 2x 当作同类项而写成 5x³，必须紧记次方不同的项永远不能合并，正如 2 个橙与 3 个苹果不能说成 5 个橙。
3. 多项式的加法与减法多项式相加或相减时，先去掉括号，再合并同类项。例如 (3x² + 2x) + (5x² − x + 1)，去掉括号后得 3x² + 2x + 5x² − x + 1，合并 x² 项得 8x²，合并 x 项得 x，常数 1 保持不变，结果是 8x² + x + 1。若括号前是减号，例如 (3x² + 2x) − (5x² − x + 1)，则括号内每一项都要变号，得 3x² + 2x − 5x² + x − 1 = −2x² + 3x − 1。最常见的错误是减括号时只改变第一项的符号，其后各项忘了变号，导致答案错误。
4. 单项式乘多项式单项式乘多项式时，运用乘法分配律，把单项式逐一乘以括号内的每一项，不可只乘第一项。例如 2x(x + 3) = 2x × x + 2x × 3 = 2x² + 6x。又如 −3x(2x − 4) = −6x² + 12x，注意负数乘负数得正数。同学最常犯的错误是只把单项式乘以括号内的首项，写出 2x × x = 2x² 便草草了事，漏掉其余的项；答题时应先数一数括号内有多少项，展开后应有同样数目的项（可合并者除外）。
5. 两个二项式相乘（FOIL 法）两个二项式相乘可用 FOIL 法有系统地展开：F 代表乘两式的首项，O 代表乘两式各自的外侧项，I 代表乘两式的内侧项，L 代表乘两式的末项，最后把四个积合并同类项。例如 (x + 2)(x + 3)：首项 x × x = x²；外侧 x × 3 = 3x；内侧 2 × x = 2x；末项 2 × 3 = 6；合并得 x² + 5x + 6。常见错误是漏算中间两项，只写 x² + 6，或把 3x 与 2x 忘记相加；紧记展开式在合并之前应有四项。
6. 两个多项式相乘的一般方法当次数较高或项数较多时，FOIL 不够用，要改用逐项相乘：把第一个多项式的每一项，分别乘以第二个多项式的每一项，然后合并同类项。例如 (x + 1)(x² + 2x + 3)，先以 x 逐一乘第二式的三项得 x³ + 2x² + 3x，再以 1 逐一乘得 x² + 2x + 3，合并同类项得 x³ + 3x² + 5x + 3。检查项数：2 项乘 3 项，未合并前应有 6 项；若数目不符，即表示有项被遗漏。这种逐项相乘的纪律，是处理三次或更高次多项式乘法的基本功。
7. 验算的方法展开或化简多项式后，最可靠的验算方法是代入数值检查。选一个简单的数如 x = 1，分别计算原式与化简后的值，两者必须相等。例如验证 (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6：代入 x = 1，左方 (1 + 2)(1 + 3) = 3 × 4 = 12；右方 1 + 5 + 6 = 12；两边相等，说明展开正确。若两边不等，便要逐步重查。留意代入 x = 0 或 x = 1 计算最快，但只验一个值仍属抽查，正式证明仍需逐项核对。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 同类项先可以合并
• 分配律要逐项乘
• FOIL：First, Outer, Inner, Last
• 负数乘负数 = 正数
• 代入数字验算最稳妥