多项式除法

1重点摘要 Summary

就像小学长除法一样，只系数字变成 x。我会一步步教你，不会跳步。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 除法的本质多项式除法所回答的问题是：(x + 2) 乘以哪个多项式会等于 x² + 5x + 6？这与小学时计算 126 ÷ 3 是问「3 乘以多少等于 126」完全相同。除法中的 x² + 5x + 6 称为被除式，x + 2 称为除式，所求的答案称为商式；若除不尽，剩下的部分称为余式。理解这个本质之后，长除法的每一步都不再是机械操作，而是不断逼近答案的过程。
2. 第一步：以最高次项相除长除法永远由最高次项开始：以被除式的最高次项除以除式的最高次项。以 x² + 5x + 6 除以 x + 2 为例，被除式最高次项是 x²，除式最高次项是 x，x² ÷ x = x，这个 x 便是商式的第一项，写在除号上方。切记不可由最低次项开始，否则整个对位会混乱；保持由高至低的次序，是长除法格式的灵魂。
3. 第二步：商式乘除式把刚求得的商式第一项乘以除式的每一项：x × x = x²，x × 2 = 2x，两者相加得 x² + 2x，写在被除式正下方，并按次数对齐。这一步的目的是计算已经处理掉的部分；对齐次数尤其重要，因为下一步的减法依赖同类项上下对正。若把 2x 写到常数位置，减法便会错误地合并不同类的项，之后全盘皆错。
4. 第三步：相减并移下下一项以被除式减去刚才的乘积：x² + 5x 减 x² + 2x，x² 项互相抵消，5x − 2x 得 3x；再把被除式尚未使用的常数项 +6 移下来，与 3x 组成 3x + 6。此步最常见的错误是误把减法当加法，得出 7x；紧记减号要作用于乘积的每一项。移下下一项之后，余下的式子便成为新一轮除法的对象，流程由此循环。
5. 第四步：重复直至除尽对 3x + 6 重复上述步骤：最高次项 3x ÷ x = 3，把 3 加进商式；以 3 乘除式得 3x + 6，写下并相减，(3x + 6) − (3x + 6) = 0。余数为 0 表示除尽，商式是 x + 3。整个流程的循环是：相除、相乘、相减、移下，直到剩余式子的次数低于除式为止；若最后剩余不为零，它就是余式，商式与余式都要写齐。
6. 验算与应用除法的验算公式是：被除式 = 商式 × 除式 + 余式。本例 (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6，与被除式一致，证明答案正确。多项式除法在代数中用途广泛：它是因式分解的有力工具，当已知 (x − 1) 是某多项式的因式时，用除法便可求出另一因式；在往后学习余式定理与描绘函数图像时，多项式除法亦是必备技巧，值得彻底练熟。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 多项式除法就像小学长除法，只系数字变 x
• 第一步永远除最高次项
• 乘完一定要做减法
• 减完带落下一个项，重复做
• 除到减完是 0 为止