因式分解：恒等式

1重点摘要 Summary

学几条万用公式，见到特定样式就可以即刻分解，不用慢慢试。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：为什么要学恒等式因式分解是把多项式写回几个因式相乘的过程，而恒等式提供「认样式、即刻拆」的捷径。有些二次式结构极有规律，例如 x² + 6x + 9，熟记公式后一眼看出是完全平方，直接写成 (x + 3)²，完全不用逐项试数。与十字相乘等方法相比，恒等式的优势是快、准、有把握：样式对得上答案便对，样式对不上便知此路不通，改用其他方法。中学阶段必记三条：两条完全平方与一条平方差，它们是解二次方程、化简代数分式的常用工具。
2. 第二步：完全平方公式一：(a+b)²第一条：(a + b)² = a² + 2ab + b²。倒转使用：见到「头尾平方、中间两倍乘积」的三项式，便可收拢成完全平方。判断 x² + 6x + 9：头项 x² = (x)²，尾项 9 = (3)²，中项 6x = 2 × x × 3，三个条件齐备，所以 x² + 6x + 9 = (x + 3)²。再看带系数的例子：4x² + 12x + 9，头项 4x² = (2x)²，尾项 9 = 3²，中项 12x = 2 × (2x) × 3，所以 = (2x + 3)²。口诀：先验头尾是平方，再验中项是否两倍乘积，两关都过才动笔。
3. 第三步：完全平方公式二：(a−b)²第二条：(a − b)² = a² − 2ab + b²。与第一条只差中间项的符号：括号内是减号，中间项便是 −2ab，但尾项永远是 +b²。判断 x² − 6x + 9：头尾同样是 x² 和 3²，中项是 −6x = −2 × x × 3，所以 = (x − 3)²。常见错误有两个：一是把尾项也写成负，以为 (x − 3)² 展开的尾项是 −9，事实上 (−3)² = +9；二是中项符号与括号相反，把 x² − 6x + 9 写成 (x + 3)²。记住规则：中间项的符号跟足括号内的符号，尾项永远是正。
4. 第四步：平方差公式：a² − b²第三条：a² − b² = (a + b)(a − b)，两项式、头尾都是平方、中间是减号，便可拆成「和乘差」。例子：x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3)；x² − 25 = (x + 5)(x − 5)；4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x + 7)(2x − 7)。这条公式在中学出现频率最高：化简 (x − 3)(x + 3)、解方程 x² = 16、心算 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 10000 − 1 = 9999 都靠它。辨认要点：只有两项；两项都是完全平方；连接符号是减号。三个条件缺一不可，x² + 9 便不能用此公式。
5. 第五步：怎样认出用哪条公式选公式的决策流程：第一步，数项数。两项式：若头尾都是平方且相减，用平方差；若相加（如 x² + 9），三条公式都不适用。三项式：检查头尾是否平方、中项是否两倍乘积——中项为正用 (a + b)²，为负用 (a − b)²；若中项不是两倍乘积（例如 x² + 5x + 9），三条公式皆不合，需改用十字相乘等方法。第二步，检查有没有公因式要先提出：2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x + 2)(x − 2)，先提 2 再用平方差，答案才算完整。
6. 第六步：验算分解完成后必须乘回验算，这是不可省略的习惯。以 x² − 16 为例：答 (x + 4)(x − 4) 后展开检查——x × x = x²、x × (−4) = −4x、4 × x = 4x、4 × (−4) = −16，中间 −4x + 4x 互相抵消，得 x² − 16，与原式相同，分解正确。若乘回结果是 x² + 16 或 x² − 8x + 16，即认错了样式，须重新判断。验算还能捕捉漏写负号、漏写括号等笔误。考试时间紧迫时，至少要在脑内快速展开一次；平时练习则写在纸上，把验算练成反射动作。
7. 第七步：常见错误总结恒等式分解有四大错误。第一，平方差误用于加法：x² + 9 不能写成 (x + 3)(x − 3)，因为那展开是 x² − 9；在实数范围内 x² + 9 已不可再分解。第二，完全平方漏中项：展开 (x + 3)(x + 3) 时必须确认中项 6x 真的出现，少了中项便是与 x² + 9 混淆。第三，系数平方出错：9x² − 16 的分解是 (3x + 4)(3x − 4)，写成 (9x + 4)(9x − 4) 便错——(9x)² = 81x²，不是 9x²。第四，忘记提公因式：3x² − 12 要先写 3(x² − 4) 再拆。每题完成后乘回验算，四类错误当场现形。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 三条万用公式，见到样式直接套
• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (a−b)² = a² − 2ab + b²
• a² − b² = (a+b)(a−b)
• 用完一定要验算！