因式分解：十字相乘法

1重点摘要 Summary

学一种快漂亮正的方法，将二次式分解做两个一次式乘积。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：明白十字相乘法做什么十字相乘法的目标：把 x² + bx + c 这类二次式，分解成 (x + m)(x + n) 两个一次式的乘积。例子：x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)，我们要找的正是 m = 2、n = 3 这两个数。名称由来：验算时把两个括号交叉相乘，线条像一个十字。这个方法适用于首项系数是 1 的二次三项式，是中三代数的重点工具。
2. 第二步：找两个数，乘积等于常数项第一条线索：找两个数 m 和 n，使它们的乘积等于常数项 c。例子：x² + 5x + 6 的常数项是 6，哪些整数相乘得 6？有 1 × 6 和 2 × 3，还有负数组合 (−1) × (−6) 和 (−2) × (−3)。先把所有可能列出来，不要急著选。常见错误是漏了负数组合，尤其常数项是正数、中间项是负数时，两个数其实都是负数。列出全部组合，下一步才逐一检验。
3. 第三步：再看和是不是等于中间项系数第二条线索：这两个数的和必须等于中间项的系数。例子：x² + 5x + 6 的中间项系数是 5，逐一检验：1 + 6 = 7，不对；2 + 3 = 5，正确，所以 m = 2、n = 3。若常数项是负数，例如 x² + 2x − 15，乘积 −15 的组合有 3 × (−5)、(−3) × 5 等，其中 3 + (−5) = −2 不对、(−3) + 5 = 2 正确，得 (x − 3)(x + 5)。两条线索同时满足，答案才成立。
4. 第四步：写答案找到两个数之后，直接写出答案：x² + bx + c = (x + m)(x + n)。例子：x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。留意答案的次序可以调换，(x + 3)(x + 2) 同样正确，因为乘法交换律。常见错误是找到两个数之后忘记它们与括号的对应，例如把 x² + 5x + 6 写成 (x + 2) + (x + 3)，用加号连接；因式分解的答案永远是乘积，两个括号之间不写任何符号。
5. 第五步：记住正负号符号规律：常数项是正数时，两个数同号，同正或同负，由中间项的符号决定；常数项是负数时，两个数异号，一正一负。例子：x² − 5x + 6 的常数项是 6、中间项是 −5，所以两个数都是负数：(x − 2)(x − 3)，检验 (−2) + (−3) = −5 正确。常见错误是见到中间项是负便把常数项也当负；记住口诀「常数正，同号；常数负，异号」，先定符号再找数字。
6. 第六步：验算写完答案必须乘回去验算。例子：(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，与原式相同，分解正确。若乘回来的结果不同，即两个数找错了，回到第二、三步重新配对。验算只需十秒，却能确保全部分数；考试时间紧迫时，先完成所有题目，最后集中验算。常见的验算疏忽是只检查常数项，例如 (x + 1)(x + 6) 的常数也是 6，但中间项是 7x，必须两项都核对。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 找两个数：乘积等于常数项
• 两个数和等于中间项系数
• 常数正→同号，常数负→异号
• 写答案：(x + m)(x + n)
• 记住验算！