圓的方程

1重點摘要 Summary

學點用方程表示圓，知圓心和半徑就寫到出來。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：圓的標準式圓心為 (h, k)、半徑為 r 的圓，其方程的標準式是 (x − h)² + (y − k)² = r²。為什麼是這個形式？它直接來自圓的定義：圓上每一點到圓心的距離都等於 r，用距離公式寫出 √((x − h)² + (y − k)²) = r，兩邊平方即得標準式。例如圓心 (2, 3)、半徑 5 的圓，方程是 (x − 2)² + (y − 3)² = 25。常見錯法是忘記右邊是半徑的平方，誤寫成 = 5；另一錯法是座標的符號減錯。
2. 第二步：由圓心半徑寫方程已知圓心與半徑時，直接把數字代入標準式。例如圓心 (2, 3)、半徑 5，方程是 (x − 2)² + (y − 3)² = 25；又如圓心 (−1, 4)、半徑 2，方程是 (x + 1)² + (y − 4)² = 4，注意 h = −1 時 x − h 變成 x + 1。為什麼會出現加號？因為減去負數等於加上正數，符號變化最容易出錯。常見錯法是把 (x + 1)² 誤當成 h = +1，應緊記括號內是「x 減去圓心的橫座標」。
3. 第三步：圓心在原點的特殊情況若圓心在原點 (0, 0)，則 h = k = 0，標準式簡化為 x² + y² = r²。例如半徑 4 的圓，方程是 x² + y² = 16；半徑 1 的單位圓，方程是 x² + y² = 1。為什麼要另列這種情況？因為它是標準式的最簡形態，識別後可即時寫出方程，亦是檢查答案的快捷方式。常見錯法是把半徑 4 寫成 x² + y² = 4，忘記方程右邊是 4² = 16；半徑與半徑的平方必須分清。
4. 第四步：展開為通式把標準式展開並合併同類項，可得圓的通式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。以 (x − 2)² + (y − 3)² = 25 為例：展開得 x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 25。為什麼要學展開？因為有些題目以通式給出圓，有些要求把答案寫成通式，兩種形式須能互相轉換。展開時用恆等式 (a − b)² = a² − 2ab + b²。常見錯法是展開後漏掉中間項，例如漏去 −4x 或 −6y；另一錯法是忘記把常數項 4 與 9 一併寫出。
5. 第五步：化簡成通式接上步繼續：把 x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 25 的左邊常數合併，得 x² + y² − 4x − 6y + 13 = 25；再把右邊的 25 移到左邊，得 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0，這就是通式，其中 D = −4，E = −6，F = −12。為什麼通式的右邊必須是 0？因為通式的定義便是所有項移至一邊、另邊為零。常見錯法是移項時符號出錯，例如把 −12 誤寫為 +12；完成後可代一點驗證。
6. 第六步：由通式配方法還原已知通式求圓心與半徑，用配方法。以 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 為例：先移項得 x² − 4x + y² − 6y = 12；對 x 部分配方，x² − 4x = (x − 2)² − 4；對 y 部分配方，y² − 6y = (y − 3)² − 9；代入得 (x − 2)² − 4 + (y − 3)² − 9 = 12。為什麼要減回 4 與 9？因為配方時添加的數必須同時減去，等式才保持平衡。常見錯法是配方後忘記減回添加的常數，令半徑的計算全錯。
7. 第七步：還原的結論接上步整理：(x − 2)² + (y − 3)² = 12 + 4 + 9 = 25，即標準式，右邊 25 就是半徑的平方，故半徑 = √25 = 5，圓心是 (2, 3)。檢查方法：與第二步由圓心半徑直接寫出的方程完全一致，說明配方無誤。為什麼要練習兩個方向？因為考試兩個方向都會考，由通式讀出圓心與半徑更是常見題型。常見錯法是忘記開方，把半徑答成 25；半徑必須取平方根，且只取正值。

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 標準式：(x - h)² + (y - k)² = r²
• 圓心 (h, k)，半徑 r
• 圓心在原點：x² + y² = r²
• h = 負數的時候，減號變加號
• 通式配方就找到圓心和半徑