軌跡

1重點摘要 Summary

學習求滿足某條件的所有點組成的路徑。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：軌跡的概念軌跡是滿足某個指定條件的所有點所組成的圖形，重點在「所有」二字，即是整個點集，而非個別一兩點。例如「到定點距離等於 3 的所有點」組成一個圓。為什麼強調所有點？因為判斷軌跡時須確認兩個方向：滿足條件的點必在圖形上，圖形上的每一點也必滿足條件，兩者缺一不可。常見錯法是只畫出幾個滿足條件的點便當作答案，忽略其餘無限多個點。
2. 第二步：到定點等距的軌跡到一個定點 P 的距離都等於定長 r 的所有點，其軌跡是以 P 為圓心、r 為半徑的圓。例如到點 O 距離為 4 的所有點，組成以 O 為圓心、半徑 4 的圓，圓上每一點到 O 的距離都恰好是 4，圓內的點距離小於 4，圓外的點大於 4。為什麼這是最基本的軌跡？因為圓的定義正是如此。常見錯法是把圓與圓內部分混淆，軌跡只是圓周這條曲線，不包括內部。
3. 第三步：到兩點等距的軌跡到兩個定點 A 與 B 距離相等的所有點，其軌跡是線段 AB 的垂直平分線。這條直線垂直於 AB，並通過 AB 的中點，線上任何一點到 A 與到 B 的距離都相等。例如 A、B 相距 6 公分，垂直平分線上任何一點到 A、B 的距離相同，例如距中點 3 公分處的點到兩端的距離必相等。為什麼成立？可用全等三角形證明。常見錯法是把軌跡畫成 AB 中垂的線段，其實是無限延伸的直線。
4. 第四步：到兩直線等距的軌跡到兩條相交直線距離相等的所有點，其軌跡是兩條角平分線，這兩條平分線互相垂直，分別平分兩直線所成的兩對對頂角。例如兩直線相交成 60° 與 120° 的角，兩條角平分線分別把 60° 分成兩個 30°、把 120° 分成兩個 60°。為什麼有兩條？因為到兩線等距的點分佈在兩對對頂角區域內，每個區域各有一條平分線。常見錯法是只畫一條平分線；圖形若跨越四個區域，須補上另一條。
5. 第五步：寫軌跡方程的方法求軌跡方程時，先設軌跡上任意一點為 (x, y)，再把幾何條件翻譯成含 x、y 的方程。例如求到定點 (2, 3) 距離都是 5 的軌跡：用距離公式寫 √((x − 2)² + (y − 3)²) = 5，兩邊平方得 (x − 2)² + (y − 3)² = 25，正是圓的標準式。為什麼設任意點？因為方程必須對軌跡上每一點都成立。常見錯法是平方時漏掉右邊，或把 (x − 2)² 展開成 x² − 4；展開須用恆等式。
6. 第六步：到兩點等距的方程例：求到 A(0, 0) 與 B(4, 0) 距離相等的點的軌跡。設該點為 (x, y)，用距離的平方寫等式以避免根號：x² + y² = (x − 4)² + y²。為什麼可以用平方距離？因為兩邊的距離都是非負數，距離相等當且僅當平方相等，這樣省去開方，計算更簡潔。此式表示該點到 A 的平方距離等於到 B 的平方距離。常見錯法是展開時符號出錯，(x − 4)² 應展開為 x² − 8x + 16，不可漏掉中間項 −8x。
7. 第七步：化簡與檢驗接上步化簡：x² = x² − 8x + 16，兩邊消去 x² 得 0 = −8x + 16，移項得 x = 2，故軌跡是直線 x = 2，正是線段 AB 的垂直平分線，因為 AB 的中點是 (2, 0)。檢驗：取線上一點 (2, 1)，到 A 的距離 = √(4 + 1) = √5，到 B 的距離 = √(4 + 1) = √5，兩者相等，成立。為什麼要檢驗？因為化簡過程若有筆誤，檢驗能即時發現。常見錯法是消去 x² 時把它寫成 −x²，令整條方程出錯。

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 軌跡 = 滿足條件的所有點
• 到定點等距 → 圓
• 到兩點等距 → 垂直平分線
• 到兩直線等距 → 角平分線
• 設 (x, y)，根據條件寫方程，化簡就得