圆的方程

1重点摘要 Summary

学点用方程表示圆，知圆心和半径就写到出来。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：圆的标准式圆心为 (h, k)、半径为 r 的圆，其方程的标准式是 (x − h)² + (y − k)² = r²。为什么是这个形式？它直接来自圆的定义：圆上每一点到圆心的距离都等于 r，用距离公式写出 √((x − h)² + (y − k)²) = r，两边平方即得标准式。例如圆心 (2, 3)、半径 5 的圆，方程是 (x − 2)² + (y − 3)² = 25。常见错法是忘记右边是半径的平方，误写成 = 5；另一错法是座标的符号减错。
2. 第二步：由圆心半径写方程已知圆心与半径时，直接把数字代入标准式。例如圆心 (2, 3)、半径 5，方程是 (x − 2)² + (y − 3)² = 25；又如圆心 (−1, 4)、半径 2，方程是 (x + 1)² + (y − 4)² = 4，注意 h = −1 时 x − h 变成 x + 1。为什么会出现加号？因为减去负数等于加上正数，符号变化最容易出错。常见错法是把 (x + 1)² 误当成 h = +1，应紧记括号内是「x 减去圆心的横座标」。
3. 第三步：圆心在原点的特殊情况若圆心在原点 (0, 0)，则 h = k = 0，标准式简化为 x² + y² = r²。例如半径 4 的圆，方程是 x² + y² = 16；半径 1 的单位圆，方程是 x² + y² = 1。为什么要另列这种情况？因为它是标准式的最简形态，识别后可即时写出方程，亦是检查答案的快捷方式。常见错法是把半径 4 写成 x² + y² = 4，忘记方程右边是 4² = 16；半径与半径的平方必须分清。
4. 第四步：展开为通式把标准式展开并合并同类项，可得圆的通式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。以 (x − 2)² + (y − 3)² = 25 为例：展开得 x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 25。为什么要学展开？因为有些题目以通式给出圆，有些要求把答案写成通式，两种形式须能互相转换。展开时用恒等式 (a − b)² = a² − 2ab + b²。常见错法是展开后漏掉中间项，例如漏去 −4x 或 −6y；另一错法是忘记把常数项 4 与 9 一并写出。
5. 第五步：化简成通式接上步继续：把 x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 25 的左边常数合并，得 x² + y² − 4x − 6y + 13 = 25；再把右边的 25 移到左边，得 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0，这就是通式，其中 D = −4，E = −6，F = −12。为什么通式的右边必须是 0？因为通式的定义便是所有项移至一边、另边为零。常见错法是移项时符号出错，例如把 −12 误写为 +12；完成后可代一点验证。
6. 第六步：由通式配方法还原已知通式求圆心与半径，用配方法。以 x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 为例：先移项得 x² − 4x + y² − 6y = 12；对 x 部分配方，x² − 4x = (x − 2)² − 4；对 y 部分配方，y² − 6y = (y − 3)² − 9；代入得 (x − 2)² − 4 + (y − 3)² − 9 = 12。为什么要减回 4 与 9？因为配方时添加的数必须同时减去，等式才保持平衡。常见错法是配方后忘记减回添加的常数，令半径的计算全错。
7. 第七步：还原的结论接上步整理：(x − 2)² + (y − 3)² = 12 + 4 + 9 = 25，即标准式，右边 25 就是半径的平方，故半径 = √25 = 5，圆心是 (2, 3)。检查方法：与第二步由圆心半径直接写出的方程完全一致，说明配方无误。为什么要练习两个方向？因为考试两个方向都会考，由通式读出圆心与半径更是常见题型。常见错法是忘记开方，把半径答成 25；半径必须取平方根，且只取正值。

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 标准式：(x - h)² + (y - k)² = r²
• 圆心 (h, k)，半径 r
• 圆心在原点：x² + y² = r²
• h = 负数的时候，减号变加号
• 通式配方就找到圆心和半径