二次方程圖像

1重點摘要 Summary

y = ax² + bx + c 畫出來是拋物線（U 型）。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 二次函數是什麼二次函數是最高次項為 x² 的函數，標準形式是 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常數且 a ≠ 0（若 a = 0，x² 項消失，便成直線）。例子：y = x²（a = 1，b = 0，c = 0）、y = x² + 2x + 1（a = 1，b = 2，c = 1）、y = −2x² + 5（a = −2，b = 0，c = 5）。二次函數的圖像在現實中真實存在：投出的籃球、噴泉的水柱，其飛行軌跡都近似拋物線，這是二次函數最直觀的物理意義，也是它在物理和工程中廣泛出現的原因。
2. 2. 拋物線形狀二次函數的圖像稱為拋物線，形狀由 a 決定。a 為正數時開口向上（U 形），例如 y = x²；a 為負數時開口向下（倒 U 形），例如 y = −x²。a 的絕對值越大，拋物線越窄：y = 3x² 比 y = x² 窄，y = 0.5x² 則更闊。快速判斷法：只看 x² 的係數——正號向上開口，負號向下開口，係數大小控制闊窄。b 和 c 影響拋物線的位置（左右與上下移動），但不影響開口方向。看到方程第一步先看 a 的正負，圖像的大致形狀立即確定。
3. 3. 頂點頂點是拋物線的最高點或最低點，也是圖像的轉折處。開口向上（a 為正）時，頂點是全圖最低點，函數在此取得最小值；開口向下（a 為負）時，頂點是最高點，取得最大值。頂點的 x 坐標公式：x = −b ÷ 2a。例如 y = x² − 4x + 1：x = −(−4) ÷ (2 × 1) = 2，代入得 y = 4 − 8 + 1 = −3，所以頂點是 (2, −3)；因為 a = 1 為正，這是最低點，函數最小值是 −3。常見錯誤是公式中的負號：−b 是把 b 整個變號，b = −4 時 −b = 4，漏了這一步圖像便左右顛倒。
4. 4. 根（和 x 軸相交）根是令 y = 0 的 x 值，即拋物線與 x 軸相交點的 x 坐標。拋物線與 x 軸的關係有三種：完全在 x 軸上方（或下方）——沒有實數根；剛好接觸 x 軸一點——一個根（重根）；穿過 x 軸兩處——兩個根。例如 y = x² − 4：令 x² − 4 = 0，得 x = 2 或 x = −2，兩個根，圖像在 (2, 0) 和 (−2, 0) 穿過 x 軸。根與頂點位置互相呼應：兩根的中點正是頂點的 x 坐標，如上例 (2 + (−2)) ÷ 2 = 0，頂點確在 x = 0，這可用來核對計算有沒有出錯。
5. 5. y 截距y 截距是拋物線與 y 軸交點的 y 坐標，求法是把 x = 0 代入。對 y = ax² + bx + c，代 x = 0 得 y = c，所以 y 截距永遠等於常數項 c，圖像經過點 (0, c)。例如 y = x² + 2x + 1 的 y 截距是 1，即過 (0, 1)；y = 2x² − 5x − 3 的 y 截距是 −3，即過 (0, −3)。這是三類特徵點中最容易求的一個：看常數項便知。留意 y 截距與開口方向無關，正負皆可；畫圖時先標 y 截距，再配合頂點，拋物線的大概位置便已確定。
6. 6. 畫二次圖像手繪拋物線五步：第一步求頂點，用 x = −b ÷ 2a 算出 x 坐標，再代入求 y；第二步求 y 截距，直接讀常數項 c；第三步選幾個 x 值（例如頂點左右各兩個整數），代入算出對應 y，列成表；第四步在坐標紙上描出所有點；第五步用平滑曲線連接——拋物線是彎的，切忌用直尺逐點連成折線。以 y = x² − 2x − 3 為例：頂點在 x = 1、y = −4，即 (1, −4)；y 截距 −3；再算 x = −1、2、3 得 y = 0、−3、0；五點連成開口向上的拋物線，兩根 −1 和 3 自然浮現。
7. 7. 常見錯誤二次圖像有四個高頻錯誤。第一，頂點公式符號錯：y = x² − 4x + 1 的頂點 x = −(−4) ÷ 2 = 2，漏掉雙負號會得出 x = −2，整幅圖左右顛倒。第二，把拋物線畫成折線：點與點之間必須平滑彎曲，用直尺連線會被扣形狀分。第三，代點計算出錯：代入負 x 值時忘記平方的符號，x = −2 時 x² = 4 而不是 −4。第四，混淆根與 y 截距：根在 x 軸上（y = 0），y 截距在 y 軸上（x = 0），兩者求法不同。畫完自查三項：頂點是否在對稱軸上、兩側點是否對稱、y 截距是否等於常數項 c。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 二次函數：y = ax² + bx + c
• 畫出來是拋物線（U 型）
• a 正數向上，負數向下
• 根 = y = 0 的 x 值
• 頂點是最高或者最低點