畢氏定理

1重點摘要 Summary

學畢氏定理：直角三角形最長邊的平方等於另外兩邊平方和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：畢氏定理的內容畢氏定理是幾何中最著名的定理之一：在直角三角形中，斜邊（直角所對的最長邊）的平方等於兩條直角邊的平方和，即 a² + b² = c²，其中 c 是斜邊，a 與 b 是兩條直角邊。例如兩邊為 3 與 4 的直角三角形，斜邊必為 5，因為 3² + 4² = 5²。為什麼只限直角三角形？因為定理刻畫的正是直角帶來的邊長關係。常見錯法是把斜邊與直角邊的位置放錯，寫成 a² + c² = b²。
2. 第二步：辨認斜邊套用定理前必須先辨認斜邊：斜邊永遠是直角所對的那條邊，也是三角形中最長的一條邊。例如直角在頂點 C，則斜邊是 AB；若圖中直角標記在另一頂點，斜邊便隨之改變。為什麼要認清？因為公式中 c 的位置一旦放錯，之後的加減全部出錯。判斷方法有二：找直角記號所對的邊，或找三邊中最長的一邊。常見錯法是不看直角位置便隨意設定 c，遇到斜邊不在慣常位置的圖形便出錯。
3. 第三步：求斜邊已知兩條直角邊求斜邊時，用 c² = a² + b²，再開平方根。例如 a = 3、b = 4 時，c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，故 c = √25 = 5，這就是經典的 3-4-5 直角三角形；又如 a = 6、b = 8，c² = 36 + 64 = 100，c = 10。為什麼開方後只取正值？因為邊長是長度，必為正數。常見錯法是忘記先平方便把兩邊直接相加，例如誤寫 c = 3 + 4 = 7，正確答案卻是 5，兩者相差甚遠。
4. 第四步：求直角邊已知斜邊與其中一條直角邊求另一條直角邊時，把公式移項得 b² = c² − a²。例如 c = 5、a = 3 時，b² = 25 − 9 = 16，故 b = √16 = 4；又如 c = 13、a = 5，b² = 169 − 25 = 144，b = 12。為什麼是相減而非相加？因為斜邊的平方最大，求直角邊時要從斜邊平方中扣除已知直角邊的平方。常見錯法是方向顛倒，用 a² − c² 得出負數；若出現負數，應立即察覺邊的角色放錯了。
5. 第五步：畢氏數組有些整數組合恰好滿足 a² + b² = c²，稱為畢氏數組，背誦常用組合可大幅加快計算：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。此外每組乘以同一整數仍是畢氏數組，例如 3-4-5 的兩倍是 6-8-10，三倍是 9-12-15，五倍是 15-20-25。為什麼有幫助？因為考試題目常使用這些組合，認出 12 與 13 便立即知道第三邊是 5。常見錯法是死算平方根而浪費時間，或把 5-12-13 誤記成 5-12-15。
6. 第六步：使用限制使用畢氏定理有兩大限制：第一，定理只適用於直角三角形，銳角或鈍角三角形不可套用，例如三邊 2、3、4 的三角形不是直角三角形，不能用 a² + b² = c² 求邊；第二，開平方根時只取正根，因為長度不可為負。為什麼要強調第一點？因為考試常給出非直角三角形引誘學生套用定理。判斷方法可先用畢氏定理逆定理驗證是否直角。常見錯法是見到三角形便開方計算，答題前應先確認直角存在。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 直角三角形先用得
• 斜邊永遠最長，對著直角
• a² + b² = c²
• 計完要開平方根
• 常見三元數：3-4-5, 5-12-13