多項式乘法

1重點摘要 Summary

學多項式乘法，由最簡單的單項式乘多項式，到二項式乘二項式（FOIL）。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：單項式乘多項式最簡單的乘法用分配律：把外面的單項乘入括號內每一項。例如 2x(3x + 4) = 2x×3x + 2x×4 = 6x² + 8x，過程中係數與係數相乘，x 與 x 相乘得 x²。乘開後檢查項數：括號內有兩項，結果便應有兩項，若數目不符即有漏乘。這種乘法是之後各種乘法的基礎，FOIL 其實就是把分配律做了兩次，本質完全相同。
2. 第二步：FOIL 方法最常見的題型是二項式乘二項式 (a+b)(c+d)，可用 FOIL 口訣有系統地展開：First 乘最前一項，Outer 乘最外兩項，Inner 乘最內兩項，Last 乘最後一項。四個積一個都不能少，這是避免漏項的關鍵；FOIL 本質上就是分配律應用兩次。記住次序後按固定路線逐項掃過，初學時宜在式子上用弧線標出四組乘積，練成習慣便不會亂。
3. 第三步：完整例子以 (x + 2)(x + 3) 為例：First = x·x = x²，Outer = x·3 = 3x，Inner = 2·x = 2x，Last = 2·3 = 6，四項合併後得 x² + 5x + 6。本課例題 (2x - 1)(x + 4) 依同樣四步展開，合併得 2x² + 7x - 4。完成後可用數值檢驗：代 x = 1 入原式與答案，兩者同為 5，即展開大致正確。
4. 第四步：負號要小心含負號時要特別小心符號法則：正乘正得正，正乘負得負，負乘負得正。例如 (x - 2)(x + 3) = x² + 3x - 2x - 6，其中 -2 乘 3 得 -6 而非 +6，合併後為 x² + x - 6。常見錯誤有兩種：把 -2 × 3 算成 +6，或在合併 3x - 2x 時把係數算錯。建議把含負號的乘積單獨圈出，先定符號、再算數字，兩步分開處理，便可大幅減少符號失誤。
5. 第五步：合併同類項四個積寫出後，中間的 Outer 與 Inner 兩項通常屬同類項，必須合併才是最終答案，例如上例的 3x + 2x 要寫成 5x；首尾兩項 x² 與常數則一般無同類可併，照抄即可。切記不可未合併便當作完成，這是考試常見的失分位。合併後按次數由高至低排列，並快速數一遍項數：二項式乘二項式，未合併時有四項，合併後通常剩三項。
6. 第六步：考試建議考試遇到多項式乘法，題目簡單時用 FOIL 橫式即可；項數較多時建議用豎式，如同整數乘法般把兩式上下對齊，逐項相乘再相加，好處是不易漏項、容易檢查。無論用哪種方法，完成後宜代入一個簡單數值驗算，例如 x = 1 或 x = 2，比較原式與答案是否一致。時間充裕時再核對一次符號，特別是負項，這些習慣能保住大部分分數。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 單項式乘多項式用分配律
• 二項式乘二項式用 FOIL
• First, Outer, Inner, Last
• 負號要小心
• 最後合併同類項