多項式入門

1重點摘要 Summary

學什麼是多項式，以及項、係數、次數等基本概念。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：什麼是多項式多項式是由變數（如 x）和常數用加減號連接而成的代數式，例如 3x² + 2x - 5。判斷時有兩條底線：變數不可出現在分母，亦不可帶負指數，因此 4/x 與 2x⁻¹ 都不是多項式，含分數指數的 √x 同樣不符定義。項與項之間只用加減號連接，乘法則寫進係數之內。掌握定義後，看到任何式子都能立即分類，這是整個多項式課題的基礎。
2. 第二步：認識項多項式中每一段以加減號分隔的部分稱為一項，例如 3x² + 2x - 5 共有三項：3x²、2x 和 -5。特別注意每一項前面的正負號屬於該項本身，移動或合併時必須連符號一起帶走，-5 就是一項，不能當作 +5。只含數字的項稱為常數項，如上式的 -5；只有一項的多項式叫單項式，兩項的叫二項式。數清項數是化簡與判斷次數之前的第一步。
3. 第三步：認識係數每項中寫在變數前面的數字因子稱為係數：3x² 的係數是 3，2x 的係數是 2。若一項只有變數而沒有寫數字，係數約定為 1，例如 x 即 1x；帶負號的 -x，係數便是 -1，這是初學時最容易忽略的兩種情況。常數項可視為變數部分為 x⁰ 的項，其數字本身就是係數。能夠正確讀出係數之後，合併同類項其實就只是係數之間的加減運算。
4. 第四步：認識次數多項式的次數是各項中變數的最高次方：3x² + 2x - 5 的最高次方是 2，故次數為 2。常數項的次數是 0，因為 5 可寫成 5x⁰。求次數時要逐項檢查，不可只看第一項，例如 2x³ + x⁵ 的次數是 5 而非 3；次數亦不等於項數，三項的多項式次數可以是任何非負整數。考試常直接問某式的次數，務必先約簡合併，再判斷最高次方。
5. 第五步：辨認同類項同類項指變數部分完全相同的項：字母相同且次方也相同，係數則可以不同。例如 3x² 與 5x² 是同類項，2x 與 -7x 也是同類項；但 3x² 與 2x 因次方不同，就不是同類項。判斷時只看變數部分，與係數正負、項的位置先後無關。所有常數項彼此互為同類項，例如 6 與 -5。養成先用底線或圈號把同類項標記出來的習慣，化簡時便不會遺漏或錯配。
6. 第六步：合併同類項化簡多項式最基本的一步是合併同類項：係數相加減，變數部分照抄。例如 3x² + 2x + 5x² - 3x = (3+5)x² + (2-3)x = 8x² - x。切記不同類項不可合併，3x² + 2x 已是最簡形式，只能照寫。合併後一般按次數由高至低排列，方便閱讀和作答。驗算可用代入法：把 x = 1 分別代入原式與答案，兩者結果相同即大致無誤，本課例題正是用這個方法核對。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 多項式 = 變數和常數加減
• 項 = 每一塊，連起正負號
• 係數 = 變數前面的數字
• 次數 = 最高次方
• 同類項先可以合併