畢氏定理逆定理

1重點摘要 Summary

學怎樣用畢氏定理反向判斷一個三角形是不是直角三角形。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：逆定理的內容畢氏定理的逆定理把定理反向使用：若一個三角形的三邊 a、b、c 滿足最長邊的平方等於其餘兩邊的平方和，即 c² = a² + b²（c 為最長邊），則這個三角形必定是直角三角形，且直角在最長邊所對的頂點。例如三邊 3、4、5 滿足 5² = 3² + 4²，故為直角三角形。為什麼有用？因為實際問題中往往只知道邊長而不知道角度。常見錯法是把最短邊當成 c 代入檢驗，方向一錯結論全錯。
2. 第二步：使用步驟使用逆定理按四步進行：第一步，在三邊中找出最長的一邊，設為 c；第二步，計算最長邊的平方 c²；第三步，計算其餘兩邊的平方和 a² + b²；第四步，比較兩數是否相等，相等即直角三角形，不相等則不是。例如三邊 8、15、17：最長邊 17，17² = 289，而 8² + 15² = 64 + 225 = 289，兩數相等，故是直角三角形。常見錯法是漏掉第一步，隨意取一邊當 c，令檢驗失去意義。
3. 第三步：相等的例子以三邊 3、4、5 為例完整檢驗：最長邊是 5，5² = 25；其餘兩邊的平方和 = 3² + 4² = 9 + 16 = 25。兩數相等，由逆定理可知這是直角三角形，直角在邊長 5 所對的頂點。再如 7、24、25：25² = 625，而 7² + 24² = 49 + 576 = 625，同樣成立。為什麼例題常選這些數？因為它們是畢氏數組，數字整齊便於驗算。常見錯法是計算平方時出錯，例如把 24² 誤算為 48，平方後的數字宜覆核一次。
4. 第四步：不相等的例子若最長邊的平方不等於其餘兩邊的平方和，三角形便不是直角三角形。例如三邊 2、3、4：最長邊 4，4² = 16；其餘兩邊平方和 = 2² + 3² = 4 + 9 = 13。因為 16 不等於 13，所以不是直角三角形；又由於 16 大於 13，即最長邊偏長，實為鈍角三角形。為什麼要留意大於還是小於？因為大於對應鈍角，小於對應銳角，可以順帶判斷三角形的類型。常見錯法是不作計算比較便直接寫結論，步驟分盡失。
5. 第五步：實際應用逆定理在實際生活中用途廣泛：木工要確保牆角或框架是直角時，可在兩邊分別量出 30 與 40 公分，再量對角線，若恰為 50 公分，因為 30² + 40² = 50²，由逆定理可知該角必為直角；這正是建築上常用的檢查方法。又如地圖上量得三地之間的距離，可用逆定理判斷三地是否構成直角位置。為什麼可靠？因為長度容易準確量度，角度則難。常見錯法是量度不夠精確，誤差令本應相等的兩數出現偏差。
6. 第六步：注意事項應用逆定理有三點必須緊記：第一，必須把最長邊放在平方等式的一端，因為直角三角形的斜邊必是最長邊；第二，逆定理只判斷是否直角三角形，不能判斷銳角是多少度；第三，計算前先確認三邊數據來自同一個三角形。例如三邊 9、12、15：15² = 225，而 9² + 12² = 81 + 144 = 225，相等，故是直角三角形。常見錯法是把兩條較短邊中較長的一條當成斜邊檢驗，例如誤用 12 作 c，結果必然不相等，得出錯誤結論。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 逆定理：反向判斷直角三角形
• 先找最長邊
• 最長邊平方 = 另外兩邊平方和？
• 相等 = 直角三角形
• 不相等 = 不是