畢氏定理應用

1重點摘要 Summary

學怎樣用畢氏定理解實際問題，例如梯、長方形對角線。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：長方形的對角線最常見的應用是求長方形的對角線。長方形長 3、闊 4，沿對角線剪開便得到兩個全等的直角三角形，長與闊正是兩條直角邊，故對角線 = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5。這類題目的關鍵在於看出對角線充當斜邊；常見的畢氏數組要熟記，例如 3、4、5 及其倍數 6、8、10，還有 5、12、13，記住之後許多題目可以心算驗證，省下不少時間。
2. 第二步：梯子靠牆問題另一經典題型是梯子靠牆：梯長 5 米，梯腳離牆 3 米，求梯頂離地的高度。先畫圖：梯子本身是斜邊，梯腳與牆腳的距離是一條直角邊，牆是另一條直角邊，牆與地面垂直構成直角。代入變形公式：高度 = √(5² - 3²) = √(25-9) = √16 = 4 米。留意此題屬於「已知斜邊求直角邊」，要用減法；本課例題梯長 10、梯腳離牆 6，同樣如此處理，得高度 8 米。
3. 第三步：兩點距離公式在坐標平面上，任意兩點 (x₁, y₁) 與 (x₂, y₂) 之間的距離同樣可由畢氏定理導出：水平距離是 |x₂-x₁|，垂直距離是 |y₂-y₁|，兩者互相垂直，連接兩點的線段便是斜邊，故距離 = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]，這正是距離公式的來源。例如由 (0,0) 至 (3,4)：√(3² + 4²) = 5。使用時先算兩個坐標差，再平方相加開方，次序不要混亂。
4. 第四步：解應用題的四步流程解畢氏定理應用題有固定流程：第一，畫圖，把題目情境變成幾何圖形，這一步絕不可省略；第二，在圖中找出直角三角形，確認直角在哪裡；第三，分清楚哪條是斜邊——永遠是最長、正對直角的那條——其餘兩條是直角邊；第四，代入公式計算，已知斜邊求直角邊用減，已知兩直角邊求斜邊用加。最後檢查答案是否合理，並補上單位，流程才算完整。
5. 第五步：完整例子例如長方形花園長 12 米、闊 5 米，想由一個角沿直線走向對角，最短距離就是對角線：√(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 米。這裡 5、12、13 是另一組常見畢氏數組，若能認出，幾乎不用計算。留意題目問「最短距離」，直線正是兩點間最短路線，所以求對角線便是正解；若題目改問沿邊行走需走多遠，則是 12 + 5 = 17 米，兩者不可混淆。
6. 第六步：考試注意事項考試做應用題時謹記三件事：一，必須畫圖並標明各邊長度，只靠心算極容易配錯邊；二，答案必須連單位寫出，例如 4 米、13 米，只寫數字會被扣分；三，若答案含根號而題目無特別要求，可保留根號或按要求取近似值。驗算習慣亦很重要：把求得的邊代回原式，例如檢查 6² + 8² 是否等於 10²，確保無誤才作答，這樣便能避免大部分不必要的失分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 長方形對角線切成兩個直角三角形
• 梯靠牆：梯是斜邊
• 兩點距離都用畢氏定理
• 解應用題一定要畫圖
• 答案要寫單位