毕氏定理

1重点摘要 Summary

学毕氏定理：直角三角形最长边的平方等于另外两边平方和。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：毕氏定理的内容毕氏定理是几何中最著名的定理之一：在直角三角形中，斜边（直角所对的最长边）的平方等于两条直角边的平方和，即 a² + b² = c²，其中 c 是斜边，a 与 b 是两条直角边。例如两边为 3 与 4 的直角三角形，斜边必为 5，因为 3² + 4² = 5²。为什么只限直角三角形？因为定理刻画的正是直角带来的边长关系。常见错法是把斜边与直角边的位置放错，写成 a² + c² = b²。
2. 第二步：辨认斜边套用定理前必须先辨认斜边：斜边永远是直角所对的那条边，也是三角形中最长的一条边。例如直角在顶点 C，则斜边是 AB；若图中直角标记在另一顶点，斜边便随之改变。为什么要认清？因为公式中 c 的位置一旦放错，之后的加减全部出错。判断方法有二：找直角记号所对的边，或找三边中最长的一边。常见错法是不看直角位置便随意设定 c，遇到斜边不在惯常位置的图形便出错。
3. 第三步：求斜边已知两条直角边求斜边时，用 c² = a² + b²，再开平方根。例如 a = 3、b = 4 时，c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，故 c = √25 = 5，这就是经典的 3-4-5 直角三角形；又如 a = 6、b = 8，c² = 36 + 64 = 100，c = 10。为什么开方后只取正值？因为边长是长度，必为正数。常见错法是忘记先平方便把两边直接相加，例如误写 c = 3 + 4 = 7，正确答案却是 5，两者相差甚远。
4. 第四步：求直角边已知斜边与其中一条直角边求另一条直角边时，把公式移项得 b² = c² − a²。例如 c = 5、a = 3 时，b² = 25 − 9 = 16，故 b = √16 = 4；又如 c = 13、a = 5，b² = 169 − 25 = 144，b = 12。为什么是相减而非相加？因为斜边的平方最大，求直角边时要从斜边平方中扣除已知直角边的平方。常见错法是方向颠倒，用 a² − c² 得出负数；若出现负数，应立即察觉边的角色放错了。
5. 第五步：毕氏数组有些整数组合恰好满足 a² + b² = c²，称为毕氏数组，背诵常用组合可大幅加快计算：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。此外每组乘以同一整数仍是毕氏数组，例如 3-4-5 的两倍是 6-8-10，三倍是 9-12-15，五倍是 15-20-25。为什么有帮助？因为考试题目常使用这些组合，认出 12 与 13 便立即知道第三边是 5。常见错法是死算平方根而浪费时间，或把 5-12-13 误记成 5-12-15。
6. 第六步：使用限制使用毕氏定理有两大限制：第一，定理只适用于直角三角形，锐角或钝角三角形不可套用，例如三边 2、3、4 的三角形不是直角三角形，不能用 a² + b² = c² 求边；第二，开平方根时只取正根，因为长度不可为负。为什么要强调第一点？因为考试常给出非直角三角形引诱学生套用定理。判断方法可先用毕氏定理逆定理验证是否直角。常见错法是见到三角形便开方计算，答题前应先确认直角存在。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 直角三角形先用得
• 斜边永远最长，对著直角
• a² + b² = c²
• 计完要开平方根
• 常见三元数：3-4-5, 5-12-13