平均數、中位數、眾數

1重點摘要 Summary

學三種平均數，知道怎樣計和什麼時候用哪個。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：平均數（Mean）平均數是最常用的集中趨勢量度：把所有數據相加，再除以數據個數。以數據 2、4、6、8、10 為例：總和 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30，個數 = 5，平均數 = 30 ÷ 5 = 6。平均數的優點是用了每一個數據的資訊，結果精確，適合處理成績、身高這類分布均勻的數據。缺點是容易被極端值拉動：只要混入一個特別大或特別小的數，平均數便會明顯偏離一般情況，這一點會在第五步用收入例子具體說明。公式：平均數 = 各數據總和 ÷ 數據個數。
2. 第二步：中位數（Median）中位數是把數據由小到大排序後，位置正中的那個數。數據個數為奇數時，正中那一個便是中位數，例如 1、3、8、20、35 的中位數是 8；個數為偶數時，取中間兩個數的平均，例如 2、5、7、9、12、30 的中位數 = (7 + 9) ÷ 2 = 8。最重要的一步是先排序：對 9、1、7 直接取中間的 1 便錯了，排序後 1、7、9 的中位數是 7。中位數只由位置決定，完全不受極端值大小影響，這令它在數據有異常值時特別可靠。
3. 第三步：眾數（Mode）眾數是出現次數最多的數據。以 1、2、2、3、3、3、4 為例：3 出現 3 次，比其他數都多，所以眾數是 3。若各數出現次數相同，例如 1、2、3、4，則沒有眾數；若兩個數並列最多，例如 2、2、5、5、9，則 2 和 5 都是眾數。眾數的獨特價值在於處理「類別」數據：鞋店統計最暢銷尺碼、飲品店統計最受歡迎口味，這些資料不是數值，無法求平均數或中位數，卻能找眾數。求眾數時建議先畫 tally 表逐項點算，避免肉眼漏數。
4. 第四步：哪個最好用三個平均數各有適用場合。數據分布均勻、沒有極端值時，平均數最好，因為它用到全部資訊；有極端值時，中位數更可靠，因為它只看中間位置；類別型資料只能用眾數。舉一個直觀例子：五戶人家的門牌號碼 8、10、12、14、16，平均數 12 尚有意義；但若問「最受歡迎的門牌顏色」，只能用眾數回答。判斷流程：先看數據是數值還是類別；若是數值，再檢查有沒有特別大或特別小的數，有則選中位數，沒有則選平均數。考試題目若指明要求哪一種，直接按指示計算即可。
5. 第五步：收入例子（極端值的影響）用真實感例子看極端值的力量：某辦公室五人月薪為 $10000、$12000、$11000、$13000、$1000000（老闆）。平均數 = (10000 + 12000 + 11000 + 13000 + 1000000) ÷ 5 = 1046000 ÷ 5 = $209200，遠高於任何一名普通員工的月薪，完全失真；中位數 = $12000，才反映普通人的收入。這正解釋了為何政府統計處發布入息數據、地產報道樓價時，多用中位數而少用平均數。閱讀統計新聞時，先留意用的是哪種平均數，再判斷數據有沒有極端值，才不會被數字誤導。
6. 第六步：考試常見考法考試常見三種題型。題型一：給一組數據，要求同時寫出平均數、中位數、眾數，例如 4、7、7、9、13——平均數 = 40 ÷ 5 = 8，中位數 = 7，眾數 = 7；答題時三項都要寫齊，漏一項會被扣分。題型二：反向求未知數，例如「四個數的平均是 9，其中三個是 7、8、15，求第四個數」——總和 = 9 × 4 = 36，第四個數 = 36 − (7 + 8 + 15) = 6。題型三：比較平均數與中位數，判斷極端值的影響。做題型二時緊記「平均 × 個數 = 總和」這條還原公式，是解題的鑰匙。
7. 第七步：常見錯誤總結三種平均數的常見錯誤各有來源。平均數：漏加數據、除錯個數，或忘記「平均 × 個數 = 總和」可以用來驗算。中位數：不排序便取中間（最常見的失誤），或偶數個數據時忘記取中間兩數的平均，直接選了其中一個。眾數：把「出現次數」當成眾數本身——數據 2、2、5 中，2 出現 2 次，眾數是 2 而不是「2 次」；也要記得沒有數據重複時應答「沒有眾數」，不能勉強寫一個。答題後快檢三項：眾數必須真的出現最多；中位數兩邊的數據個數必須相等；平均數乘回個數必須等於總和。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 平均數 = 總和 ÷ 個數
• 中位數 = 排好序中間那個
• 眾數 = 出現最多次那個
• 有偏異值用中位數
• 求中位數一定要排序