立體展開圖

1重點摘要 Summary

把立體拆開鋪平，看到所有面。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1步：展開是什麼把紙包飲品盒沿着邊剪開攤平，立體就變成一塊連在一起的平面圖樣，這個過程叫展開，攤平後的圖樣叫展開圖。為什麼要學展開圖？因為攤平之後量度和計算都方便，摺起來又變回立體，能幫助理解立體的結構，包裝盒的設計也是由展開圖開始的。每種立體都有自己的展開圖，剪的位置不同，得到的圖樣也可能不同。常見誤解是以為一種立體只有一種展開圖，其實正方體就有十多種不同的攤法，只要摺得回去都正確。
2. 第2步：正方體的展開圖正方體的展開圖由 6 個一樣大的正方形組成，可以排成十字形、一四一款式等十多種樣式。雖然樣式很多，但每一種摺回去都能成為正方體，因為 6 個面全部相同，怎樣排都不會不合適。判斷時可以在心裡摺一次，留意 6 個面會不會重疊，例如五個正方形排成一長排的圖樣，摺起來必定重疊，所以不是展開圖。常見錯誤是只數面數有 6 個就判對，不檢查會不會重疊；面數與摺合兩項都要查，判斷才可靠。
3. 第3步：三角柱的展開圖三角柱有 2 個三角形的底和 3 個長方形的側面，所以展開圖共有 5 個面：3 個長方形連成一排，兩側各連著 1 個三角形。為什麼是這樣的組合？摺起來時，3 個長方形圍成柱身，2 個三角形分別蓋住上下兩端，正好把立體封閉。最常見的攤法是中間三格長方形、左右各一格三角形。常見錯誤是把兩個三角形畫在長方形的同一側，摺合時兩個三角形擠在同一端，另一端敞開無法封閉；畫完在心裡摺一次就能查出。
4. 第4步：四角錐的展開圖四角錐的底是一個正方形，側面是 4 個三角形，所以展開圖共有 5 個面：中間 1 個正方形，四周連著 4 個三角形。摺起來時，4 個三角形向中間上方合攏，尖端聚在一起成為錐頂。為什麼側面是三角形？因為錐體的側面由底面邊緣斜向上收窄到頂點，每一面都必定是三角形，金字塔就是四角錐的樣子。常見錯誤是把側面畫成長方形，那是柱體的特徵；或者只畫 3 個三角形，蓋不住底的四條邊，數一數側面個數就能查出。
5. 第5步：圓柱的展開圖圓柱的展開圖有 3 個面：側面攤開是一個長方形，上下各連 1 個圓。長方形的闊等於圓柱的高，長等於底面圓的周長，這樣長方形才能正好圍住兩個圓。為什麼側面攤開是長方形？用一張紙捲成圓筒再攤開試一次就明白了，曲面攤平必然是矩形。常見錯誤是把長方形的長寫成直徑，忘記它必須是周長，結果長方形圍不住兩個圓；記住長等於 2 × π × 半徑，例如半徑 2 厘米時長約 12.56 厘米，捲一捲紙驗證最直觀。
6. 第6步：用摺合測試判斷判斷一個圖樣是不是某個立體的展開圖，最好的方法是在心裡摺一次：先數面數夠不夠，再看會不會重疊，最後查有沒有開口。以三角柱為例，3 個長方形圍成一圈，2 個三角形蓋住上下，面數和形狀都對，就是正確的展開圖。為什麼這個測試可靠？因為展開圖必須同時滿足面數正確、無重疊、無缺口三個條件，缺一不可。常見錯誤是只檢查其中一項，例如面數對了就以為沒問題，結果兩個面重疊而漏了另一端，三項全部通過才可判定。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 展開圖 = 立體剪開攤平的平面圖樣
• 正方體：6 個正方形；三角柱：5 個面（2 三角 + 3 長方）
• 四角錐：1 正方形 + 4 三角形
• 圓柱：1 長方形 + 2 圓
• 真展開圖要過摺合測試：不重疊、不漏面