長方體展開圖

1重點摘要 Summary

長方體展開是 6 個長方形。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1步：認識展開圖把紙巾盒沿着邊剪開攤平，就得到一塊連在一起的平面圖樣，這就是長方體的展開圖。展開圖清楚說明立體的每個面是什麼形狀、彼此怎樣相連；沿着展開圖的線摺回去，又能摺成原來的長方體。為什麼要學長方體的展開圖？因為它是計算表面面積與理解立體結構的基礎，包裝盒的設計也是由展開圖開始。常見誤解是以為展開圖只有一種，其實同一個長方體可以攤成多種不同的圖樣，只要摺得回去都正確。
2. 第2步：數面 — 三對相對的面長方體有 6 個面，分成 3 對。以 5 × 4 × 3 的盒為例：上下兩個面是 5 × 4，前後兩個面是 5 × 3，左右兩個面是 4 × 3。相對的兩個面完全一樣大，這是長方體的重要特徵，在展開圖裡同樣看得清楚。為什麼分三對？因為長、闊、高三個方向各對應一對相對的面，6 個面正好組成三對。常見錯誤是把 6 個面當成全部不同，或者配錯對，例如把 5 × 3 與 4 × 3 配成一對；用長、闊、高逐對檢查，配對就不會亂。
3. 第3步：攤法不止一種同一個長方體可以攤成十字形、T 字形等不同的圖樣，樣子不同，但都是 6 個長方形連在一起。只要摺回去能成為原來的長方體，攤法就是對的。為什麼攤法不止一種？因為剪開的邊可以不同，留下的連接邊不同，攤平之後的形狀就不同。所以判斷展開圖不能只看形狀像不像，要想想摺合之後的結果。常見錯誤是只認十字形為正確，見到其他形狀就判錯；判斷的標準始終是能否摺回原立體，不是圖樣的外觀。
4. 第4步：判斷真偽有些圖樣不是長方體的展開圖：例如某個攤法裡兩個 5 × 4 的面摺下去會疊在一起，或者缺了一個面、多出一個面，這樣的圖樣都摺不成長方體。判斷的方法是在心裡摺一次，逐一檢查會不會重疊、會不會缺面。為什麼會出現重疊？因為同一個位置安排了兩個面，而長方體每個方向只有一對面，位置容不下第三塊。常見錯誤是只數面數有 6 個就判對，其實 6 個面仍然可能重疊；面數、位置、配對三項都要檢查，缺一不可。
5. 第5步：聯繫表面面積展開圖攤平之後，所有面的面積加起來就是表面面積。以 5 × 4 × 3 的盒為例：5 × 4 = 20，5 × 3 = 15，4 × 3 = 12，所以表面面積 = 20 × 2 + 15 × 2 + 12 × 2 = 40 + 30 + 24 = 94 平方厘米。用展開圖逐面計算，一個面都不會漏掉。為什麼展開圖有幫助？因為攤平之後每個面都攤開在眼前，可以直接逐個計算再相加，思路與圖形互相印證。常見錯誤是漏算一對面，只加 4 個面；記住長方體必定有 6 個面、組成三對。
6. 第6步：檢查面數長方體的展開圖一定恰好是 6 個長方形。數一數面數，少於 6 個或者多過 6 個的圖樣一定不對，這是檢查展開圖最快的第一步。數完面數，再看相對的面是否成對出現、大小是否相等，最後在心裡摺一次確認沒有重疊。為什麼要三步檢查？因為每一步排除一類錯誤：面數排除缺面與多面，配對排除大小不合，摺合排除位置重疊。常見錯誤是只做第一步就下結論；三步全部通過，才能判定展開圖正確。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 長方體展開圖 = 6 個長方形連起
• 相對面一樣大：上下、前後、左右三對
• 同一長方體可以有不同樣的展開圖
• 摺埋會重疊的不是展開圖
• 展開圖全部面加起來 = 表面面積