角（三）：扇形角

1重點摘要 Summary

扇形角 = 佔整圓多少 × 360°。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1步：整圓是 360°一個圓周的角度總數是 360°：時針或分針行一個圈，就是轉了 360°。為什麼計算扇形離不開 360°？因為扇形是圓的一部分，扇形的圓心角佔整圓 360° 的幾分之幾，正是計算的依據，同一個圓裡所有扇形的角度加起來都不能超過 360°。例如把薄餅切成 6 等份，每份的圓心角是 360 ÷ 6 = 60°，6 份合共正好 360°。人們選 360 這個數作為整圓，是因為它能被 2、3、4、5、6 等許多數整除，分割起來特別方便。常見錯法：以為半圓是 360°；半圓是整圓的一半，是 180°，整整一圈才是 360°。
2. 第2步：記住公式扇形的圓心角 = 扇形佔整圓的分數 × 360°。例如一個扇形佔整圓的 14，就用 14 乘 360°。為什麼用乘法？因為「佔幾分之幾」表示取整圓的一部分，求一個數的幾分之幾用乘法，360° 的 14 就是 360 × 14。解題的固定思路是先找出佔比分數，再乘 360°：例如佔 16 的扇形，圓心角 = 360 × 16 = 60°；佔 34 的扇形，圓心角 = 360 × 34 = 270°。常見錯法：把分數倒轉使用，用 360 除以分子；或者不先約簡，計算變得繁瑣。建議先除後乘，例如 360 × 34 先算 360 ÷ 4 = 90，再乘 3 得 270°，又快又準。
3. 第3步：計算四分之一佔整圓 14 的扇形：360 × 14 = 360 ÷ 4 = 90°，正好是一個直角。為什麼四分之一圓對應直角？因為直角是 90°，四個這樣的扇形拼起來，90 × 4 = 360°，正好鋪滿整圓。四分之一圓的扇形也叫直角扇形，例如薄餅切成四等份，每一塊的圓心角就是 90°；鐘面上由 12 到 3 的扇形同樣是 90°。這個例子還提示一個捷徑：見到「四分之一」就知道答案是 90°，見到「一半」就知道是 180°，先記住這兩個錨點，其他分數再推算。常見錯法：把 14 乘 360 算成 360 ÷ 1 × 4 = 1440°；分數乘整數時分母作除數、分子作乘數，次序不可以調轉。
4. 第4步：百分比同樣計算扇形佔整圓的百分比同樣用乘法計算：佔 25%，圓心角 = 360 × 25% = 90°；佔 50%，圓心角 = 360 × 50% = 180°；佔 10%，圓心角 = 360 × 10% = 36°。為什麼方法與分數完全一樣？因為百分數本來就是分母為 100 的分數，25% 就是 25100 即 14；計算前先把百分比化成分數或小數，例如 25% 化成 0.25，360 × 0.25 = 90°。統計課的圓形圖正是這個用法的實際應用，每個扇形代表各部分的百分比，扇形越大，圓心角越大。常見錯法：忘記把百分號化走，直接用 360 × 25 當成 9000°；乘 360 之前先化成小數或分數，百分號不可以帶進算式。
5. 第5步：由角度反推佔比反過來，知道圓心角也可以求扇形佔整圓的分數：扇形 120°，120 ÷ 360 = 13，所以它佔整圓的三分之一；扇形 45°，45 ÷ 360 = 18。為什麼用除法？因為求「一部分佔整體的幾分之幾」，用部分除以整體，即扇形角度除以整圓的 360°。乘與除互相抵消：13 乘 360 回到 120°，正算反算都會做，扇形的問題就能靈活處理，例如知道圓心角 90°，可知佔 14，也就是 25%。常見錯法：用 360 ÷ 120 = 3 就當作答案；360 ÷ 120 = 3 說明整圓是扇形的 3 倍，扇形佔的是 13，除完之後必須想清楚誰除誰、誰佔誰。
6. 第6步：鐘面上的應用鐘面是一個圓，分成 12 大格，每格是 360 ÷ 12 = 30°。3 點正，時針指 3、分針指 12，兩針相隔 3 格，夾角是 3 × 30° = 90°；6 點正兩針相隔 6 格，夾角是 180°，兩針成一直線。為什麼鐘面問題用每格 30° 來算？因為鐘面把整圓 360° 平均分成 12 份，份數清楚，格數乘 30° 立刻得出角度，又快又準。再如時針由 2 走到 5，走了 3 格，轉了 3 × 30° = 90°。常見錯法：以為每格是 60°，把「分」與「格」混淆；鐘面 12 大格對應 360°，每格 30°，而分針走一分鐘只是一小格即 6°，兩個系統不可以混為一談。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 整個圓的角度總數是 360°
• 扇形角度 = 佔比 × 360°
• 14 = 90°、12 = 180°、25% = 90°
• 由角度反推佔比：120° ÷ 360° = 13
• 鐘面每格 30°