立体展开图

1重点摘要 Summary

把立体拆开铺平，看到所有面。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1步：展开是什么把纸包饮品盒沿着边剪开摊平，立体就变成一块连在一起的平面图样，这个过程叫展开，摊平后的图样叫展开图。为什么要学展开图？因为摊平之后量度和计算都方便，折起来又变回立体，能帮助理解立体的结构，包装盒的设计也是由展开图开始的。每种立体都有自己的展开图，剪的位置不同，得到的图样也可能不同。常见误解是以为一种立体只有一种展开图，其实正方体就有十多种不同的摊法，只要折得回去都正确。
2. 第2步：正方体的展开图正方体的展开图由 6 个一样大的正方形组成，可以排成十字形、一四一款式等十多种样式。虽然样式很多，但每一种折回去都能成为正方体，因为 6 个面全部相同，怎样排都不会不合适。判断时可以在心里折一次，留意 6 个面会不会重叠，例如五个正方形排成一长排的图样，折起来必定重叠，所以不是展开图。常见错误是只数面数有 6 个就判对，不检查会不会重叠；面数与折合两项都要查，判断才可靠。
3. 第3步：三角柱的展开图三角柱有 2 个三角形的底和 3 个长方形的侧面，所以展开图共有 5 个面：3 个长方形连成一排，两侧各连著 1 个三角形。为什么是这样的组合？折起来时，3 个长方形围成柱身，2 个三角形分别盖住上下两端，正好把立体封闭。最常见的摊法是中间三格长方形、左右各一格三角形。常见错误是把两个三角形画在长方形的同一侧，折合时两个三角形挤在同一端，另一端敞开无法封闭；画完在心里折一次就能查出。
4. 第4步：四角锥的展开图四角锥的底是一个正方形，侧面是 4 个三角形，所以展开图共有 5 个面：中间 1 个正方形，四周连著 4 个三角形。折起来时，4 个三角形向中间上方合拢，尖端聚在一起成为锥顶。为什么侧面是三角形？因为锥体的侧面由底面边缘斜向上收窄到顶点，每一面都必定是三角形，金字塔就是四角锥的样子。常见错误是把侧面画成长方形，那是柱体的特征；或者只画 3 个三角形，盖不住底的四条边，数一数侧面个数就能查出。
5. 第5步：圆柱的展开图圆柱的展开图有 3 个面：侧面摊开是一个长方形，上下各连 1 个圆。长方形的阔等于圆柱的高，长等于底面圆的周长，这样长方形才能正好围住两个圆。为什么侧面摊开是长方形？用一张纸卷成圆筒再摊开试一次就明白了，曲面摊平必然是矩形。常见错误是把长方形的长写成直径，忘记它必须是周长，结果长方形围不住两个圆；记住长等于 2 × π × 半径，例如半径 2 厘米时长约 12.56 厘米，卷一卷纸验证最直观。
6. 第6步：用折合测试判断判断一个图样是不是某个立体的展开图，最好的方法是在心里折一次：先数面数够不够，再看会不会重叠，最后查有没有开口。以三角柱为例，3 个长方形围成一圈，2 个三角形盖住上下，面数和形状都对，就是正确的展开图。为什么这个测试可靠？因为展开图必须同时满足面数正确、无重叠、无缺口三个条件，缺一不可。常见错误是只检查其中一项，例如面数对了就以为没问题，结果两个面重叠而漏了另一端，三项全部通过才可判定。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 展开图 = 立体剪开摊平的平面图样
• 正方体：6 个正方形；三角柱：5 个面（2 三角 + 3 长方）
• 四角锥：1 正方形 + 4 三角形
• 圆柱：1 长方形 + 2 圆
• 真展开图要过折合测试：不重叠、不漏面