长方体展开图

1重点摘要 Summary

长方体展开是 6 个长方形。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1步：认识展开图把纸巾盒沿着边剪开摊平，就得到一块连在一起的平面图样，这就是长方体的展开图。展开图清楚说明立体的每个面是什么形状、彼此怎样相连；沿着展开图的线折回去，又能折成原来的长方体。为什么要学长方体的展开图？因为它是计算表面面积与理解立体结构的基础，包装盒的设计也是由展开图开始。常见误解是以为展开图只有一种，其实同一个长方体可以摊成多种不同的图样，只要折得回去都正确。
2. 第2步：数面 — 三对相对的面长方体有 6 个面，分成 3 对。以 5 × 4 × 3 的盒为例：上下两个面是 5 × 4，前后两个面是 5 × 3，左右两个面是 4 × 3。相对的两个面完全一样大，这是长方体的重要特征，在展开图里同样看得清楚。为什么分三对？因为长、阔、高三个方向各对应一对相对的面，6 个面正好组成三对。常见错误是把 6 个面当成全部不同，或者配错对，例如把 5 × 3 与 4 × 3 配成一对；用长、阔、高逐对检查，配对就不会乱。
3. 第3步：摊法不止一种同一个长方体可以摊成十字形、T 字形等不同的图样，样子不同，但都是 6 个长方形连在一起。只要折回去能成为原来的长方体，摊法就是对的。为什么摊法不止一种？因为剪开的边可以不同，留下的连接边不同，摊平之后的形状就不同。所以判断展开图不能只看形状像不像，要想想折合之后的结果。常见错误是只认十字形为正确，见到其他形状就判错；判断的标准始终是能否折回原立体，不是图样的外观。
4. 第4步：判断真伪有些图样不是长方体的展开图：例如某个摊法里两个 5 × 4 的面折下去会叠在一起，或者缺了一个面、多出一个面，这样的图样都折不成长方体。判断的方法是在心里折一次，逐一检查会不会重叠、会不会缺面。为什么会出现重叠？因为同一个位置安排了两个面，而长方体每个方向只有一对面，位置容不下第三块。常见错误是只数面数有 6 个就判对，其实 6 个面仍然可能重叠；面数、位置、配对三项都要检查，缺一不可。
5. 第5步：联系表面面积展开图摊平之后，所有面的面积加起来就是表面面积。以 5 × 4 × 3 的盒为例：5 × 4 = 20，5 × 3 = 15，4 × 3 = 12，所以表面面积 = 20 × 2 + 15 × 2 + 12 × 2 = 40 + 30 + 24 = 94 平方厘米。用展开图逐面计算，一个面都不会漏掉。为什么展开图有帮助？因为摊平之后每个面都摊开在眼前，可以直接逐个计算再相加，思路与图形互相印证。常见错误是漏算一对面，只加 4 个面；记住长方体必定有 6 个面、组成三对。
6. 第6步：检查面数长方体的展开图一定恰好是 6 个长方形。数一数面数，少于 6 个或者多过 6 个的图样一定不对，这是检查展开图最快的第一步。数完面数，再看相对的面是否成对出现、大小是否相等，最后在心里折一次确认没有重叠。为什么要三步检查？因为每一步排除一类错误：面数排除缺面与多面，配对排除大小不合，折合排除位置重叠。常见错误是只做第一步就下结论；三步全部通过，才能判定展开图正确。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 长方体展开图 = 6 个长方形连起
• 相对面一样大：上下、前后、左右三对
• 同一长方体可以有不同样的展开图
• 折埋会重叠的不是展开图
• 展开图全部面加起来 = 表面面积