三角形面積初步

1重點摘要 Summary

三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1段：從長方形出發畫一個底 6 cm、高 4 cm 的長方形，面積 = 6 × 4 = 24 cm²。沿著一條對角線把它剪開，得到兩個完全一樣的三角形，每個三角形的底與高都與長方形相同。為什麼要從長方形出發？因為長方形面積是我們已經掌握的知識，用它推出三角形的面積公式，這是數學裡「化新為舊」的思考方法：把不會的問題變成會的問題。例如沿對角線剪開後，兩個三角形可以完全疊合，說明它們的面積相等，各佔長方形的一半。常見錯法：以為剪出來的兩個三角形一大一小；只要沿長方形的對角線剪，兩個三角形必定完全相同。
2. 第2段：三角形是長方形的一半長方形面積 24 cm² 被對角線平分成兩份，每個三角形的面積 = 24 ÷ 2 = 12 cm²。由此得到公式：三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2。為什麼公式裡要除以 2？因為兩個與原三角形完全一樣的三角形，正好可以拼成一個同底同高的長方形，三角形只佔長方形的一半。這條公式對任何三角形都成立，銳角、直角、鈍角三角形都適用。例如底 10 cm、高 6 cm 的三角形，面積 = 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²。常見錯法：忘記除以 2，直接用底乘高，把面積算大一倍；記住公式的來源——兩個全等三角形拼成一個長方形——就不會漏掉除以 2。
3. 第3段：用公式計算用公式計算的次序是先把底和高相乘，最後再除以 2：底 8 cm、高 5 cm 的三角形，先算 8 × 5 = 40，再算 40 ÷ 2 = 20，面積是 20 cm²。一步一步寫清楚，方便自己檢查。為什麼先乘後除？其實先除後乘也可以，例如 8 ÷ 2 × 5 = 20，結果一樣，因為乘與除的次序可以調換，選自己算起來最順手的即可。答案必須寫單位 cm²，因為面積是平方單位，與長度的 cm 不同。常見錯法：底與高沒有對應就亂乘，例如把三條邊隨便拿兩條來乘；必須用底邊與它對應的高相乘。另外漏寫平方單位，把 cm² 寫成 cm，也是常見錯誤。
4. 第4段：高必須垂直於底三角形的高是從頂角向底邊畫的垂直線段，必須與底成直角，這是公式中「高」的準確意思。為什麼要求垂直？因為面積公式來自長方形，長方形的長與寬互相垂直，三角形的高與底也必須互相垂直，公式才成立。鈍角三角形的高有時要畫到底邊的延長線上，例如鈍角三角形的頂角垂足落在底邊外面，高就是從頂角到底邊延長線的垂直線段。量高時把三角尺的一條直角一邊貼住底邊，另一條直角邊經過頂角，讀出的長度才是高。常見錯法：沿著斜邊量長度當作高，或者畫出的高與底不垂直；畫高之前先用三角尺檢查夾角是不是 90°。
5. 第5段：直角三角形最方便直角三角形中，兩條直角邊互相垂直，本身就可以當作底和高，不用另外畫高。例如兩條直角邊長 3 cm 和 4 cm，面積 = 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm²。為什麼直角邊就是底和高？因為高的定義是從頂角向底邊畫的垂直線段，直角三角形的一條直角邊正好垂直於另一條，定義自動滿足；斜邊不是高，除非特別另畫。驗證一下：把兩個完全一樣的直角三角形拼在一起，正好得到一個長 4 cm、寬 3 cm 的長方形，面積 12 cm²，每個三角形 6 cm²。常見錯法：誤用斜邊當高，例如把斜邊 5 cm 代入算成 3 × 5 ÷ 2；直角三角形的面積要用兩條直角邊計算。
6. 第6段：應用題應用題的解題次序是：先從題目找出底和高，確認單位一致，再代入公式計算，最後寫上單位。例如一面三角旗底長 30 cm、高 20 cm，面積 = 30 × 20 ÷ 2 = 300 cm²，知道面積就能計算需要多少布料。為什麼要先檢查單位？因為如果底用 cm、高用 m，直接相乘就會出錯，必須先統一單位再計算。例如底 2 m、高 50 cm，先把 50 cm 化成 0.5 m，面積 = 2 × 0.5 ÷ 2 = 0.5 m²。常見錯法：題目給的是斜邊長，沒有弄清高是哪一條就算；應用題先畫草圖，標出底與高，再動筆計算，最後檢查單位。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2
• 兩個相同的三角形砌成一個平行四邊形，所以是一半
• 高要垂直於底，不是斜邊
• 直角三角形兩條直角邊就是底同高
• 面積答案用平方單位 cm²