三角形面积初步

1重点摘要 Summary

三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第1段：从长方形出发画一个底 6 cm、高 4 cm 的长方形，面积 = 6 × 4 = 24 cm²。沿著一条对角线把它剪开，得到两个完全一样的三角形，每个三角形的底与高都与长方形相同。为什么要从长方形出发？因为长方形面积是我们已经掌握的知识，用它推出三角形的面积公式，这是数学里「化新为旧」的思考方法：把不会的问题变成会的问题。例如沿对角线剪开后，两个三角形可以完全叠合，说明它们的面积相等，各占长方形的一半。常见错法：以为剪出来的两个三角形一大一小；只要沿长方形的对角线剪，两个三角形必定完全相同。
2. 第2段：三角形是长方形的一半长方形面积 24 cm² 被对角线平分成两份，每个三角形的面积 = 24 ÷ 2 = 12 cm²。由此得到公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。为什么公式里要除以 2？因为两个与原三角形完全一样的三角形，正好可以拼成一个同底同高的长方形，三角形只占长方形的一半。这条公式对任何三角形都成立，锐角、直角、钝角三角形都适用。例如底 10 cm、高 6 cm 的三角形，面积 = 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²。常见错法：忘记除以 2，直接用底乘高，把面积算大一倍；记住公式的来源——两个全等三角形拼成一个长方形——就不会漏掉除以 2。
3. 第3段：用公式计算用公式计算的次序是先把底和高相乘，最后再除以 2：底 8 cm、高 5 cm 的三角形，先算 8 × 5 = 40，再算 40 ÷ 2 = 20，面积是 20 cm²。一步一步写清楚，方便自己检查。为什么先乘后除？其实先除后乘也可以，例如 8 ÷ 2 × 5 = 20，结果一样，因为乘与除的次序可以调换，选自己算起来最顺手的即可。答案必须写单位 cm²，因为面积是平方单位，与长度的 cm 不同。常见错法：底与高没有对应就乱乘，例如把三条边随便拿两条来乘；必须用底边与它对应的高相乘。另外漏写平方单位，把 cm² 写成 cm，也是常见错误。
4. 第4段：高必须垂直于底三角形的高是从顶角向底边画的垂直线段，必须与底成直角，这是公式中「高」的准确意思。为什么要求垂直？因为面积公式来自长方形，长方形的长与宽互相垂直，三角形的高与底也必须互相垂直，公式才成立。钝角三角形的高有时要画到底边的延长线上，例如钝角三角形的顶角垂足落在底边外面，高就是从顶角到底边延长线的垂直线段。量高时把三角尺的一条直角一边贴住底边，另一条直角边经过顶角，读出的长度才是高。常见错法：沿著斜边量长度当作高，或者画出的高与底不垂直；画高之前先用三角尺检查夹角是不是 90°。
5. 第5段：直角三角形最方便直角三角形中，两条直角边互相垂直，本身就可以当作底和高，不用另外画高。例如两条直角边长 3 cm 和 4 cm，面积 = 3 × 4 ÷ 2 = 6 cm²。为什么直角边就是底和高？因为高的定义是从顶角向底边画的垂直线段，直角三角形的一条直角边正好垂直于另一条，定义自动满足；斜边不是高，除非特别另画。验证一下：把两个完全一样的直角三角形拼在一起，正好得到一个长 4 cm、宽 3 cm 的长方形，面积 12 cm²，每个三角形 6 cm²。常见错法：误用斜边当高，例如把斜边 5 cm 代入算成 3 × 5 ÷ 2；直角三角形的面积要用两条直角边计算。
6. 第6段：应用题应用题的解题次序是：先从题目找出底和高，确认单位一致，再代入公式计算，最后写上单位。例如一面三角旗底长 30 cm、高 20 cm，面积 = 30 × 20 ÷ 2 = 300 cm²，知道面积就能计算需要多少布料。为什么要先检查单位？因为如果底用 cm、高用 m，直接相乘就会出错，必须先统一单位再计算。例如底 2 m、高 50 cm，先把 50 cm 化成 0.5 m，面积 = 2 × 0.5 ÷ 2 = 0.5 m²。常见错法：题目给的是斜边长，没有弄清高是哪一条就算；应用题先画草图，标出底与高，再动笔计算，最后检查单位。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
• 两个相同的三角形砌成一个平行四边形，所以是一半
• 高要垂直于底，不是斜边
• 直角三角形两条直角边就是底同高
• 面积答案用平方单位 cm²