平移與旋轉

1重點摘要 Summary

平移：移位不改形；旋轉：打轉。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第1段：平移是滑動把棋子在方格紙上從 (1,1) 向右滑 3 格，到達 (4,1)，滑動過程中棋子始終朝著同一個方向，一點也沒有轉動，這種移動叫做平移。為什麼說平移只改變位置？因為圖形上每一點都沿同一方向移動同樣的距離，移動之後形狀、大小與朝向完全不變，改變的只有所在的位置。例如升降機從 2 樓升到 5 樓，機身方向始終向上，這就是平移。常見錯法：以為斜著移動不算平移，其實只要沿直線移動、方向保持不變，斜向移動同樣是平移，例如棋子由 (1,1) 移到 (3,3)，方向不變，仍是平移。
2. 第2段：平移要說方向和距離描述一次平移必須講清楚兩件事：向哪個方向移，以及移動多少格，例如「向右移 3 格」或「向上移 2 格」。為什麼兩個要素缺一不可？因為只說方向不說距離，就不知道移多遠；只說距離不說方向，就不知道往哪邊移，圖形的新位置都無法確定。例如把三角形向右移 4 格，圖形上每一點都向右移 4 格，移動後形狀與大小完全沒有變。常見錯法：把「向右移 3 格」與「向上移 3 格」混淆，或者平移後把圖形畫大畫小；平移前後的圖形必須完全一樣，只是位置不同，抄畫時逐格數清楚。
3. 第3段：旋轉是轉動時鐘的分針從指向 12 轉到指向 3，就是繞著中心順時針轉了一個直角，即 90°，這種繞著一個固定點的轉動叫做旋轉。描述旋轉要說三件事：繞著哪個點轉、往哪個方向轉、轉多少度，三個要素缺一不可。為什麼要三件事都說？因為少說任何一件，圖形轉動後的新位置都無法確定：不說中心便不知繞哪裡轉，不說方向便不知往哪邊轉。例如風扇葉片繞中心轉動、門繞著門鉸轉動，都是旋轉。常見錯法：忘記說明方向，只說「轉 90°」；順時針轉 90° 與逆時針轉 90° 結果不同，漏了方向就會出錯。
4. 第4段：用身體感受直角旋轉站好面向黑板，身體就是一個可以旋轉的圖形：順時針轉 90°，面向窗戶；再轉 90°，一共轉了 180°，面向教室後方；第三次轉 90° 共 270°，面向另邊的牆；轉滿 4 個直角即 360°，正好回到原來的位置。為什麼要用身體體驗？因為角度本是抽象概念，親自轉一轉，90°、180°、360° 的關係立刻變得具體：兩個直角拼成平角，四個直角拼成周角。常見錯法：把 180° 當成轉了一圈，其實 180° 只是半圈；或者以為 360° 之後圖形變了樣，實際上轉滿一圈正好回到原位，與原來完全相同。
5. 第5段：兩者都不改變形狀一個三角形向右平移 5 格，它還是原來那個三角形；把它繞某點旋轉 90°，它仍然是同一個三角形，只是朝向不同。為什麼平移和旋轉都不改變圖形的形狀和大小？因為這兩種變換只改變圖形的位置或朝向，圖形上任意兩點之間的距離始終不變，所以邊長、角度與面積都保持原樣。例如一個底 4 cm、高 3 cm 的三角形，無論平移到哪裡、轉到哪個方向，面積都還是 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm²。常見錯法：把旋轉後的圖形誤當成另一個圖形，或者在方格紙上抄畫時把邊畫長畫短；變換前後的圖形必須完全一樣。
6. 第6段：生活例子分類生活裡的運動可以分成兩類：平移的例子有升降機上下移動、扶手電梯、拉開抽屜、推拉窗；旋轉的例子有風扇葉片轉動、旋轉木馬、門繞著門鉸轉動、擰開瓶蓋。為什麼要學會分類？因為判斷運動的類型是解決圖形運動問題的第一步，分類的關鍵是看運動方式：物體沿直線滑動、方向保持不變的是平移；繞著一個固定點轉動的是旋轉。例如鐘擺繞固定點擺動，屬於轉動一類。常見錯法：把同時平移又旋轉的複雜運動當成單純平移，例如滾動的車輪其實一邊移動一邊旋轉；判斷時要看物體是否繞著某一點轉動。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 平移：沿直線滑動，要講方向＋距離
• 旋轉：圍著中心轉，要講方向＋角度
• 順時針同時鐘方向一樣
• 兩者都不改變圖形的形狀和大小
• 升降機是平移；風扇、門鉸是旋轉