數據離差

1重點摘要 Summary

學會域、四分位數、標準差，看數據分散程度。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：域 Range — 最簡單的量度域是最簡單的離差量度，公式是域 = 最大值 − 最小值，只需找出兩個極端值相減即可。例如一班同學的身高由 150 cm 到 180 cm，域就是 180 - 150 = 30 cm。域的優點是計算快捷，缺點是只由最大值與最小值決定，中間數據如何分佈完全沒有反映；一旦出現極端值，域便會被嚴重拉大。
2. 第二步：先排序 — 求四分位數前的必做步驟無論求 Q1 還是 Q3，都必須先把數據由小到大排好順序，這是最容易疏忽的一步。例如考試分數 52, 63, 68, 70, 72, 75, 78, 81, 85, 90，這組數已按大小排列，可以直接進入下一步。若數據未經排序就去找四分位數，結果必定出錯，動手之前務必先核對順序。
3. 第三步：中位數 Median — 先找中間排好序之後先找中位數，它把數據分成上下兩半。數據個數是單數時，中位數就是正中間那個數；個數是雙數時，取中間兩個數的平均。例如上面 10 個分數，中位數 = (72 + 75) ÷ 2 = 73.5 分。下半部分的 5 個數用來求 Q1，上半部分的 5 個數用來求 Q3。
4. 第四步：Q1 和 Q3 — 四分位數Q1 是下半部分數據的中位數，Q3 是上半部分數據的中位數。以例子來說：下半部分是 52, 63, 68, 70, 72，正中間是 68，所以 Q1 = 68；上半部分是 75, 78, 81, 85, 90，正中間是 81，所以 Q3 = 81。求出 Q1 與 Q3，便能描述數據中間一半的範圍。
5. 第五步：四分位距 IQR — 中間一半的闊度IQR = Q3 − Q1，表示數據中間一半的跨度，例子中 IQR = 81 − 68 = 13 分。IQR 的最大優點是只由中間 50% 的數據決定，完全不受兩端極端值影響，比域穩健得多。例如有一名同學考了 0 分，域會突然變得很大，但 Q1 與 Q3 幾乎不變，IQR 也就保持穩定。
6. 第六步：標準差 Standard Deviation — 最常用標準差量度每個數據偏離平均數的平均幅度，數值越大代表數據越分散。計算步驟：先求平均數；把每個數減去平均數後平方；把各平方值相加再除以個數；最後開平方根。考試時可用計算機直接求出，重點是懂得解讀：標準差是 5 分，代表數據普遍偏離平均數大約 5 分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 域 = 最大值 - 最小值
• 四分位距 IQR = Q3 - Q1
• 標準差量數據分散程度
• 標準差越大越散越不穩定
• 比較兩組數據穩不穩定看域和 IQR