数据离差

1重点摘要 Summary

学会域、四分位数、标准差，看数据分散程度。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：域 Range — 最简单的量度域是最简单的离差量度，公式是域 = 最大值 − 最小值，只需找出两个极端值相减即可。例如一班同学的身高由 150 cm 到 180 cm，域就是 180 - 150 = 30 cm。域的优点是计算快捷，缺点是只由最大值与最小值决定，中间数据如何分布完全没有反映；一旦出现极端值，域便会被严重拉大。
2. 第二步：先排序 — 求四分位数前的必做步骤无论求 Q1 还是 Q3，都必须先把数据由小到大排好顺序，这是最容易疏忽的一步。例如考试分数 52, 63, 68, 70, 72, 75, 78, 81, 85, 90，这组数已按大小排列，可以直接进入下一步。若数据未经排序就去找四分位数，结果必定出错，动手之前务必先核对顺序。
3. 第三步：中位数 Median — 先找中间排好序之后先找中位数，它把数据分成上下两半。数据个数是单数时，中位数就是正中间那个数；个数是双数时，取中间两个数的平均。例如上面 10 个分数，中位数 = (72 + 75) ÷ 2 = 73.5 分。下半部分的 5 个数用来求 Q1，上半部分的 5 个数用来求 Q3。
4. 第四步：Q1 和 Q3 — 四分位数Q1 是下半部分数据的中位数，Q3 是上半部分数据的中位数。以例子来说：下半部分是 52, 63, 68, 70, 72，正中间是 68，所以 Q1 = 68；上半部分是 75, 78, 81, 85, 90，正中间是 81，所以 Q3 = 81。求出 Q1 与 Q3，便能描述数据中间一半的范围。
5. 第五步：四分位距 IQR — 中间一半的阔度IQR = Q3 − Q1，表示数据中间一半的跨度，例子中 IQR = 81 − 68 = 13 分。IQR 的最大优点是只由中间 50% 的数据决定，完全不受两端极端值影响，比域稳健得多。例如有一名同学考了 0 分，域会突然变得很大，但 Q1 与 Q3 几乎不变，IQR 也就保持稳定。
6. 第六步：标准差 Standard Deviation — 最常用标准差量度每个数据偏离平均数的平均幅度，数值越大代表数据越分散。计算步骤：先求平均数；把每个数减去平均数后平方；把各平方值相加再除以个数；最后开平方根。考试时可用计算机直接求出，重点是懂得解读：标准差是 5 分，代表数据普遍偏离平均数大约 5 分。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 域 = 最大值 - 最小值
• 四分位距 IQR = Q3 - Q1
• 标准差量数据分散程度
• 标准差越大越散越不稳定
• 比较两组数据稳不稳定看域和 IQR