轨迹

1重点摘要 Summary

学习求满足某条件的所有点组成的路径。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：轨迹的概念轨迹是满足某个指定条件的所有点所组成的图形，重点在「所有」二字，即是整个点集，而非个别一两点。例如「到定点距离等于 3 的所有点」组成一个圆。为什么强调所有点？因为判断轨迹时须确认两个方向：满足条件的点必在图形上，图形上的每一点也必满足条件，两者缺一不可。常见错法是只画出几个满足条件的点便当作答案，忽略其余无限多个点。
2. 第二步：到定点等距的轨迹到一个定点 P 的距离都等于定长 r 的所有点，其轨迹是以 P 为圆心、r 为半径的圆。例如到点 O 距离为 4 的所有点，组成以 O 为圆心、半径 4 的圆，圆上每一点到 O 的距离都恰好是 4，圆内的点距离小于 4，圆外的点大于 4。为什么这是最基本的轨迹？因为圆的定义正是如此。常见错法是把圆与圆内部分混淆，轨迹只是圆周这条曲线，不包括内部。
3. 第三步：到两点等距的轨迹到两个定点 A 与 B 距离相等的所有点，其轨迹是线段 AB 的垂直平分线。这条直线垂直于 AB，并通过 AB 的中点，线上任何一点到 A 与到 B 的距离都相等。例如 A、B 相距 6 公分，垂直平分线上任何一点到 A、B 的距离相同，例如距中点 3 公分处的点到两端的距离必相等。为什么成立？可用全等三角形证明。常见错法是把轨迹画成 AB 中垂的线段，其实是无限延伸的直线。
4. 第四步：到两直线等距的轨迹到两条相交直线距离相等的所有点，其轨迹是两条角平分线，这两条平分线互相垂直，分别平分两直线所成的两对对顶角。例如两直线相交成 60° 与 120° 的角，两条角平分线分别把 60° 分成两个 30°、把 120° 分成两个 60°。为什么有两条？因为到两线等距的点分布在两对对顶角区域内，每个区域各有一条平分线。常见错法是只画一条平分线；图形若跨越四个区域，须补上另一条。
5. 第五步：写轨迹方程的方法求轨迹方程时，先设轨迹上任意一点为 (x, y)，再把几何条件翻译成含 x、y 的方程。例如求到定点 (2, 3) 距离都是 5 的轨迹：用距离公式写 √((x − 2)² + (y − 3)²) = 5，两边平方得 (x − 2)² + (y − 3)² = 25，正是圆的标准式。为什么设任意点？因为方程必须对轨迹上每一点都成立。常见错法是平方时漏掉右边，或把 (x − 2)² 展开成 x² − 4；展开须用恒等式。
6. 第六步：到两点等距的方程例：求到 A(0, 0) 与 B(4, 0) 距离相等的点的轨迹。设该点为 (x, y)，用距离的平方写等式以避免根号：x² + y² = (x − 4)² + y²。为什么可以用平方距离？因为两边的距离都是非负数，距离相等当且仅当平方相等，这样省去开方，计算更简洁。此式表示该点到 A 的平方距离等于到 B 的平方距离。常见错法是展开时符号出错，(x − 4)² 应展开为 x² − 8x + 16，不可漏掉中间项 −8x。
7. 第七步：化简与检验接上步化简：x² = x² − 8x + 16，两边消去 x² 得 0 = −8x + 16，移项得 x = 2，故轨迹是直线 x = 2，正是线段 AB 的垂直平分线，因为 AB 的中点是 (2, 0)。检验：取线上一点 (2, 1)，到 A 的距离 = √(4 + 1) = √5，到 B 的距离 = √(4 + 1) = √5，两者相等，成立。为什么要检验？因为化简过程若有笔误，检验能即时发现。常见错法是消去 x² 时把它写成 −x²，令整条方程出错。

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 轨迹 = 满足条件的所有点
• 到定点等距 → 圆
• 到两点等距 → 垂直平分线
• 到两直线等距 → 角平分线
• 设 (x, y)，根据条件写方程，化简就得