三角形相似

1重點摘要 Summary

學什麼是相似三角形，以及怎樣用來計未知邊長。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：相似三角形是什麼相似三角形指形狀相同、大小可以不同的兩個三角形，用符號 ~ 表示。它有兩個必要性質：所有對應角相等，所有對應邊成比例。全等其實是相似的特例——比例等於 1 時兩形完全一樣。由此可知，判斷相似不必檢查全部元素：角方面只需確認對應角相等，邊方面只需確認比值一致，兩者任一成立即可，這正是之後各判定條件的由來。
2. 第二步：AAA（AA）判定若兩個三角形的三個角對應相等，則兩形相似，稱為 AAA。由於三角形內角和固定是 180°，其實只需兩對角相等，第三對便自動相等，所以這條件通常寫作 AA，即「兩角對應相等」。實際解題時，常利用對頂角、公共角或平行線的同位角、內錯角湊出兩對相等角，這是幾何題目中最常用的相似判定方法，必須熟練掌握。
3. 第三步：其他判定條件除 AA 外還有兩條判定：三邊成比例（SSS~），即三對對應邊的比值全部相同；兩邊成比例且夾角相等（SAS~），即兩對邊成比例，且它們之間的夾角相等。注意 SAS~ 中的角必須是兩邊的夾角，若是對邊的角則不能判定。考試給出邊長數據時，宜把兩形的邊按大小排好，逐一計算比值再比較，例如 36 = 48 = 510 = 0.5，三個比值相同即相似。
4. 第四步：用相似求未知邊相似三角形最大的用途是求未知邊長：對應邊成比例，先求比例因子，再乘出未知邊。例如大三角形三邊 2、4、6，小三角形最長邊為 3，則比例 = 3÷6 = 0.5，其餘兩邊 = 2×0.5 = 1 與 4×0.5 = 2。本課例題同型：大三角形 3、4、5，小三角形最短邊 1.5，比例 = 1.5÷3 = 0.5，故最長邊 = 5×0.5 = 2.5。流程固定：配對應邊、求比例、套比例。
5. 第五步：找對應邊與比例方向正確配對應邊是成敗關鍵：對應邊是對應角的對面，最小角對最小邊、最大角對最大邊，圖形方向不同時切勿按位置硬配。比例因子的方向也要留心：由大三角形求小三角形，用小一邊 ÷ 大一邊；方向反了，答案便錯成倒數，例如把 0.5 寫成 2。防止出錯的辦法是寫明「小 = 大 × 比例」這類句子，並檢查答案是否比原邊小，與題意相符。
6. 第六步：相似與全等的關係全等是形狀與大小都相同，比例必為 1；相似只要求形狀相同，比例可以是任何正數。因此全等的三角形必定相似，但相似的三角形未必全等。答題時注意用字：證得相似後，只能得出對應邊成比例、對應角相等，不可直接說邊長相等；反過來，題目若證了全等，則相似性質自動成立。考試常以選擇題考這組概念，務必分清兩者的包含關係。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 相似 = 形狀一樣大小可以不同
• 對應角相等
• 對應邊成比例
• AAA 是相似條件
• 用來求未知邊長