三角形相似

1重点摘要 Summary

学什么是相似三角形，以及怎样用来计未知边长。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：相似三角形是什么相似三角形指形状相同、大小可以不同的两个三角形，用符号 ~ 表示。它有两个必要性质：所有对应角相等，所有对应边成比例。全等其实是相似的特例——比例等于 1 时两形完全一样。由此可知，判断相似不必检查全部元素：角方面只需确认对应角相等，边方面只需确认比值一致，两者任一成立即可，这正是之后各判定条件的由来。
2. 第二步：AAA（AA）判定若两个三角形的三个角对应相等，则两形相似，称为 AAA。由于三角形内角和固定是 180°，其实只需两对角相等，第三对便自动相等，所以这条件通常写作 AA，即「两角对应相等」。实际解题时，常利用对顶角、公共角或平行线的同位角、内错角凑出两对相等角，这是几何题目中最常用的相似判定方法，必须熟练掌握。
3. 第三步：其他判定条件除 AA 外还有两条判定：三边成比例（SSS~），即三对对应边的比值全部相同；两边成比例且夹角相等（SAS~），即两对边成比例，且它们之间的夹角相等。注意 SAS~ 中的角必须是两边的夹角，若是对边的角则不能判定。考试给出边长数据时，宜把两形的边按大小排好，逐一计算比值再比较，例如 36 = 48 = 510 = 0.5，三个比值相同即相似。
4. 第四步：用相似求未知边相似三角形最大的用途是求未知边长：对应边成比例，先求比例因子，再乘出未知边。例如大三角形三边 2、4、6，小三角形最长边为 3，则比例 = 3÷6 = 0.5，其余两边 = 2×0.5 = 1 与 4×0.5 = 2。本课例题同型：大三角形 3、4、5，小三角形最短边 1.5，比例 = 1.5÷3 = 0.5，故最长边 = 5×0.5 = 2.5。流程固定：配对应边、求比例、套比例。
5. 第五步：找对应边与比例方向正确配对应边是成败关键：对应边是对应角的对面，最小角对最小边、最大角对最大边，图形方向不同时切勿按位置硬配。比例因子的方向也要留心：由大三角形求小三角形，用小一边 ÷ 大一边；方向反了，答案便错成倒数，例如把 0.5 写成 2。防止出错的办法是写明「小 = 大 × 比例」这类句子，并检查答案是否比原边小，与题意相符。
6. 第六步：相似与全等的关系全等是形状与大小都相同，比例必为 1；相似只要求形状相同，比例可以是任何正数。因此全等的三角形必定相似，但相似的三角形未必全等。答题时注意用字：证得相似后，只能得出对应边成比例、对应角相等，不可直接说边长相等；反过来，题目若证了全等，则相似性质自动成立。考试常以选择题考这组概念，务必分清两者的包含关系。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 相似 = 形状一样大小可以不同
• 对应角相等
• 对应边成比例
• AAA 是相似条件
• 用来求未知边长