三角形全等

1重點摘要 Summary

學習什麼是全等三角形，以及四個判定條件。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：全等的意義全等三角形是指形狀與大小都完全相同的兩個三角形，把其中一個平移、旋轉或翻轉後，可與另一個完全疊合；此時所有對應邊相等、所有對應角相等，記作 ≅，例如三角形 ABC ≅ 三角形 DEF。為什麼要學全等？因為它是幾何證明的基礎工具，證明線段或角相等時，往往透過證明兩個三角形全等來達成。常見錯法是只檢查三個角相等便斷定全等，其實大小可能不同，那只是相似。
2. 第二步：SSS 三邊相等SSS 判定指兩個三角形的三組對應邊都相等，則兩三角形全等。例如三角形 ABC 三邊為 3、4、5，三角形 DEF 三邊亦為 3、4、5，則兩者全等。為什麼三邊足以固定形狀？因為三條邊的長度唯一確定三角形的大小與形狀，如同用三根固定長度的木條釘成的框架不會變形。常見錯法是把對應關係配錯，例如把最長邊對了短邊；列式時應按大小順序配對三組邊。
3. 第三步：SAS 兩邊及夾角SAS 判定指兩個三角形的兩組對應邊相等，且這兩邊的夾角也相等，則兩三角形全等。例如 AB = DE = 3，AC = DF = 4，且夾角 ∠A = ∠D = 60°，則兩三角形全等。為什麼必須是夾角？因為角若不在兩已知邊之間，邊與角的組合不能唯一固定三角形，可能畫出兩種不同的形狀。常見錯法是把非夾角當作夾角使用 SAS，這是考試最典型的陷阱；判斷前應先確認角位於兩邊之間。
4. 第四步：ASA 兩角及夾邊ASA 判定指兩個三角形的兩組對應角相等，且這兩角的夾邊也相等，則兩三角形全等。例如 ∠A = ∠D = 50°，∠B = ∠E = 60°，且夾邊 AB = DE = 5，則兩三角形全等。為什麼夾邊重要？因為兩角相等只固定了形狀，必須有一條邊才能固定大小，夾邊正好把兩個角連接起來。常見錯法是只寫兩角相等便宣稱全等，漏掉夾邊相等的條件，理由不完整會被扣分。
5. 第五步：AAS 兩角及非夾邊AAS 判定指兩個三角形的兩組對應角相等，且其中一組非夾邊也相等，則兩三角形全等。為什麼它成立？因為三角形內角和為 180°，已知兩角便可求第三角，於是 AAS 實際上可化為 ASA，結論相同。例如 ∠A = ∠D，∠B = ∠E，且 AC = DF（非夾邊），先由內角和算出 ∠C = ∠F，再用 ASA 判定。常見錯法是把 AAS 與 SSA 混為一談，SSA 的相等邊不在兩角之間，不能保證全等。
6. 第六步：不能使用的條件有兩個看似合理卻無效的條件必須緊記：SSA（兩邊及非夾角）不能判定全等，因為同一組數據可畫出兩個不同的三角形；AAA（三角相等）也不能判定全等，因為三角相等只保證形狀相同，即相似，大小可以不同，例如邊長 3、4、5 與 6、8、10 的兩個直角三角形三角對應相等卻不全等。常見錯法是誤用這兩個條件作證明理由，閱卷時會判為錯誤；務必只使用 SSS、SAS、ASA、AAS 四個有效判定。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 全等 = 形狀一樣大小一樣
• SSS：三邊相等
• SAS：兩邊夾角
• ASA：兩角夾邊
• SSA、AAA 不是判定條件