對頂角與平行線上的角

1重點摘要 Summary

學對頂角相等，以及平行線上同位角、內錯角、同旁內角的性質。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 第一步：對頂角兩條直線相交於一點時，形成四個角，其中不相鄰、相對的兩個角稱為對頂角，對頂角必定相等。例如兩線相交得 ∠1、∠2、∠3、∠4，則 ∠1 與 ∠3 是對頂角，∠2 與 ∠4 是對頂角，故 ∠1 = ∠3，∠2 = ∠4。為什麼相等？因為 ∠1 與 ∠2 合成平角 180°，∠2 與 ∠3 也合成平角，兩式比較即得 ∠1 = ∠3。常見錯法是把相鄰的角誤當對頂角，相鄰兩角是互補而非相等。
2. 第二步：平行線與截線當一條直線（稱為截線）穿過兩條平行線時，共形成八個角，這些角之間有固定的關係，是本章的核心內容。必須先確認兩條線平行，這些關係才成立；若兩線不平行，以下各條性質全部無效。例如兩條平行線被第三線所截，八個角實際上只有兩個不同的度數。為什麼只有兩個度數？因為對頂角相等，加上同位角相等，所有角都歸入兩組。常見錯法是不加證明便假設兩線平行而套用性質。
3. 第三步：同位角相等同位角是指在截線的同一側、且分別位於兩條平行線相同位置的兩個角，例如同在截線右方、同在平行線上方的一對。若兩線平行，則同位角相等；反之，若同位角相等，亦可斷定兩線平行。例如截線與兩平行線夾出 50° 與 50° 的一對同位角。為什麼稱為同位？因為兩角在圖中的相對位置完全一樣，如同複製。常見錯法是只看度數相近便判為同位角，必須按位置定義確認。
4. 第四步：內錯角相等內錯角是指夾在兩條平行線之間、分別在截線兩側交錯擺放的兩個角，形狀如字母 Z 的兩個內角。若兩線平行，則內錯角相等；反之亦然。例如一對內錯角分別是 70° 與 70°。為什麼相等？因為它們各自與同一個同位角成對頂角或互補關係，經過傳遞便相等。作答時須分清「兩直線平行，內錯角相等」與「內錯角相等，兩直線平行」兩個方向。常見錯法是把 Z 形認錯，應先描出 Z 字輪廓再讀角。
5. 第五步：同旁內角互補同旁內角是指夾在兩條平行線之間、且在截線同一側的兩個角，形狀如字母 U 的兩個內角。若兩線平行，同旁內角的和為 180°，即互補，而不是相等。例如一對同旁內角是 65° 與 115°，65 + 115 = 180。為什麼是互補？因為其中一角與某個同位角相等，而該同位角與另一角成鄰角，合成平角。常見錯法是沿用相等的直覺，把兩個同旁內角寫成一樣；應緊記同旁內角相加才是 180°。
6. 第六步：判斷平行的方法平行線的性質可以反向使用，成為判斷兩線平行的方法：若同位角相等，則兩線平行；若內錯角相等，則兩線平行；若同旁內角互補，則兩線平行。例如題目給出 ∠a = 120° 與 ∠b = 120° 且位置互為同位角，即可寫「同位角相等，故兩直線平行」。為什麼要分清性質與判定？性質由平行推出角度，判定由角度推出平行，推理方向相反，作答的理由不可寫反。常見錯法是理由與結構錯配，被扣步驟分。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 對頂角相等
• 平行線同位角相等
• 平行線內錯角相等
• 平行線同旁內角互補
• 一定要平先用得