多项式乘法

1重点摘要 Summary

学多项式乘法，由最简单的单项式乘多项式，到二项式乘二项式（FOIL）。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：单项式乘多项式最简单的乘法用分配律：把外面的单项乘入括号内每一项。例如 2x(3x + 4) = 2x×3x + 2x×4 = 6x² + 8x，过程中系数与系数相乘，x 与 x 相乘得 x²。乘开后检查项数：括号内有两项，结果便应有两项，若数目不符即有漏乘。这种乘法是之后各种乘法的基础，FOIL 其实就是把分配律做了两次，本质完全相同。
2. 第二步：FOIL 方法最常见的题型是二项式乘二项式 (a+b)(c+d)，可用 FOIL 口诀有系统地展开：First 乘最前一项，Outer 乘最外两项，Inner 乘最内两项，Last 乘最后一项。四个积一个都不能少，这是避免漏项的关键；FOIL 本质上就是分配律应用两次。记住次序后按固定路线逐项扫过，初学时宜在式子上用弧线标出四组乘积，练成习惯便不会乱。
3. 第三步：完整例子以 (x + 2)(x + 3) 为例：First = x·x = x²，Outer = x·3 = 3x，Inner = 2·x = 2x，Last = 2·3 = 6，四项合并后得 x² + 5x + 6。本课例题 (2x - 1)(x + 4) 依同样四步展开，合并得 2x² + 7x - 4。完成后可用数值检验：代 x = 1 入原式与答案，两者同为 5，即展开大致正确。
4. 第四步：负号要小心含负号时要特别小心符号法则：正乘正得正，正乘负得负，负乘负得正。例如 (x - 2)(x + 3) = x² + 3x - 2x - 6，其中 -2 乘 3 得 -6 而非 +6，合并后为 x² + x - 6。常见错误有两种：把 -2 × 3 算成 +6，或在合并 3x - 2x 时把系数算错。建议把含负号的乘积单独圈出，先定符号、再算数字，两步分开处理，便可大幅减少符号失误。
5. 第五步：合并同类项四个积写出后，中间的 Outer 与 Inner 两项通常属同类项，必须合并才是最终答案，例如上例的 3x + 2x 要写成 5x；首尾两项 x² 与常数则一般无同类可并，照抄即可。切记不可未合并便当作完成，这是考试常见的失分位。合并后按次数由高至低排列，并快速数一遍项数：二项式乘二项式，未合并时有四项，合并后通常剩三项。
6. 第六步：考试建议考试遇到多项式乘法，题目简单时用 FOIL 横式即可；项数较多时建议用竖式，如同整数乘法般把两式上下对齐，逐项相乘再相加，好处是不易漏项、容易检查。无论用哪种方法，完成后宜代入一个简单数值验算，例如 x = 1 或 x = 2，比较原式与答案是否一致。时间充裕时再核对一次符号，特别是负项，这些习惯能保住大部分分数。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 单项式乘多项式用分配律
• 二项式乘二项式用 FOIL
• First, Outer, Inner, Last
• 负号要小心
• 最后合并同类项