平均数、中位数、众数

1重点摘要 Summary

学三种平均数，知道怎样计和什么时候用哪个。

2生字卡 Vocabulary

3逐步讲解 Steps

1. 第一步：平均数（Mean）平均数是最常用的集中趋势量度：把所有数据相加，再除以数据个数。以数据 2、4、6、8、10 为例：总和 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30，个数 = 5，平均数 = 30 ÷ 5 = 6。平均数的优点是用了每一个数据的资讯，结果精确，适合处理成绩、身高这类分布均匀的数据。缺点是容易被极端值拉动：只要混入一个特别大或特别小的数，平均数便会明显偏离一般情况，这一点会在第五步用收入例子具体说明。公式：平均数 = 各数据总和 ÷ 数据个数。
2. 第二步：中位数（Median）中位数是把数据由小到大排序后，位置正中的那个数。数据个数为奇数时，正中那一个便是中位数，例如 1、3、8、20、35 的中位数是 8；个数为偶数时，取中间两个数的平均，例如 2、5、7、9、12、30 的中位数 = (7 + 9) ÷ 2 = 8。最重要的一步是先排序：对 9、1、7 直接取中间的 1 便错了，排序后 1、7、9 的中位数是 7。中位数只由位置决定，完全不受极端值大小影响，这令它在数据有异常值时特别可靠。
3. 第三步：众数（Mode）众数是出现次数最多的数据。以 1、2、2、3、3、3、4 为例：3 出现 3 次，比其他数都多，所以众数是 3。若各数出现次数相同，例如 1、2、3、4，则没有众数；若两个数并列最多，例如 2、2、5、5、9，则 2 和 5 都是众数。众数的独特价值在于处理「类别」数据：鞋店统计最畅销尺码、饮品店统计最受欢迎口味，这些资料不是数值，无法求平均数或中位数，却能找众数。求众数时建议先画 tally 表逐项点算，避免肉眼漏数。
4. 第四步：哪个最好用三个平均数各有适用场合。数据分布均匀、没有极端值时，平均数最好，因为它用到全部资讯；有极端值时，中位数更可靠，因为它只看中间位置；类别型资料只能用众数。举一个直观例子：五户人家的门牌号码 8、10、12、14、16，平均数 12 尚有意义；但若问「最受欢迎的门牌颜色」，只能用众数回答。判断流程：先看数据是数值还是类别；若是数值，再检查有没有特别大或特别小的数，有则选中位数，没有则选平均数。考试题目若指明要求哪一种，直接按指示计算即可。
5. 第五步：收入例子（极端值的影响）用真实感例子看极端值的力量：某办公室五人月薪为 $10000、$12000、$11000、$13000、$1000000（老板）。平均数 = (10000 + 12000 + 11000 + 13000 + 1000000) ÷ 5 = 1046000 ÷ 5 = $209200，远高于任何一名普通员工的月薪，完全失真；中位数 = $12000，才反映普通人的收入。这正解释了为何政府统计处发布入息数据、地产报道楼价时，多用中位数而少用平均数。阅读统计新闻时，先留意用的是哪种平均数，再判断数据有没有极端值，才不会被数字误导。
6. 第六步：考试常见考法考试常见三种题型。题型一：给一组数据，要求同时写出平均数、中位数、众数，例如 4、7、7、9、13——平均数 = 40 ÷ 5 = 8，中位数 = 7，众数 = 7；答题时三项都要写齐，漏一项会被扣分。题型二：反向求未知数，例如「四个数的平均是 9，其中三个是 7、8、15，求第四个数」——总和 = 9 × 4 = 36，第四个数 = 36 − (7 + 8 + 15) = 6。题型三：比较平均数与中位数，判断极端值的影响。做题型二时紧记「平均 × 个数 = 总和」这条还原公式，是解题的钥匙。
7. 第七步：常见错误总结三种平均数的常见错误各有来源。平均数：漏加数据、除错个数，或忘记「平均 × 个数 = 总和」可以用来验算。中位数：不排序便取中间（最常见的失误），或偶数个数据时忘记取中间两数的平均，直接选了其中一个。众数：把「出现次数」当成众数本身——数据 2、2、5 中，2 出现 2 次，众数是 2 而不是「2 次」；也要记得没有数据重复时应答「没有众数」，不能勉强写一个。答题后快检三项：众数必须真的出现最多；中位数两边的数据个数必须相等；平均数乘回个数必须等于总和。

4图解 Diagrams

5例题示范 Example

6常见错误 Mistakes

75 题快测 Quick check

8重点回顾 Recap

• 平均数 = 总和 ÷ 个数
• 中位数 = 排好序中间那个
• 众数 = 出现最多次那个
• 有偏异值用中位数
• 求中位数一定要排序